Obtenha um expressão da série abaixo e o respectivo raio de convergência:

x 5 4 + x 9 8 + x 13 12 + …

Passo 1

Colocando x em evidência:

x x 4 4 + x 8 8 + x 12 12 + … = x ∑ n = 1 ∞ x 4 n 4 n

Vamos achar aquela série primeiro, para isso vamos fazer

g x = ∑ n = 1 ∞ x 4 n 4 n

Só para nos organizarmos bem nessa conta.

Passo 2

Olhando para a nossa g x , vamos ter

g x = ∑ n = 1 ∞ x 4 n 4 n = x 4 4 + x 8 8 + x 12 12 + …

Opa, repara que se derivarmos essa série, vamos acabar com todas essas frações, derivando g ( x ) :

g ' x = ∑ n = 1 ∞ 4 n x 4 n - 1 4 n = ∑ n = 1 ∞ x 4 n - 1 = x 3 + x 7 + x 11 + …

Melhorou um pouco, mas ainda não conseguimos ver nada.

Pera, olha que agora, temos x 3 em todas as parcelas, então

g ' x = ∑ n = 1 ∞ x 4 n - 1 = x 3 1 + x 4 + x 8 + …

Melhorou mais um pouco. OOOOOPA!!!!!

Olhando para esse cara dentro do parênteses, vemos que é uma série geométrica. Repara que aqui, vamos ter r = x 4 .

Assim, vamos ter

1 + x 4 + x 8 + … = 1 1 - x 4 = 1 1 - x 4

Lembrando que devemos ter:

r < 1 → x 4 < 1 → x < 1

Assim, a nossa g x vai ficar:

g ' x = x 3 1 - x 4 ,     - 1 < x < 1

Passo 3

Então vamos analisar g ( x ) através disso:

g x = ∫ 0 x g ' t d t = ∫ 0 x t 3 1 - t 4 d t

Para resolver essa integral, vamos usar a substituição simples:

u = 1 - t 4 → d u = - 4 t 3 d t

Vamos mudar o limite de integração

t = x → y = 1 - x 4

t = 0 → 1 - 0 4 = 1

Assim fica:

- 1 4 ∫ 1 1 - x 4 d u u = - 1 4 ln ⁡ | 1 - x 4 |

Supondo que x < 1 , então podemos tirar o módulo

g x = - 1 4 ln ⁡ ( 1 - x 4 )

Assim finalmente:

S x = - x 4 ln ⁡ 1 - x 4 ,   x < 1

Passo 4

Como sabemos, precisamos testar os limites da série, ou seja, quando x = 1 e x = - 1

Para x = 1 a série fica:

S x = 1 ∑ n = 1 ∞ 1 4 n 4 n = ∑ n = 1 ∞ 1 4 n

E para x = - 1 :

S x = ∑ n = 1 ∞ - 1 4 n

Ambos são séries harmônicas de grau 1, logo divergem! Logo a resposta é

S x = - x 4 ln ⁡ 1 - x 4 ,   - 1 < x < 1

Resposta

S x = - x 4 ln ⁡ 1 - x 4 ,   - 1 < x < 1

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