Obtenha representação em série de potências para cada função abaixo e determine o seu intervalo de convergência

c )   h x = x 2 1 + x 3

Passo 1

Olá, tudo tranquilo? Precisamos descobrir a cara e o intervalo de convergência dessa função aqui

h x = x 2 1 + x 3

Mas você lembra como encontrar?

Dizemos que uma série de potências representa uma função f ( x ) quando podemos relacionar as derivadas n-ésimas das funções, assim

f x = ∑ n = 0 ∞ f n ' 0 n ! x n

É o que chamamos de Série de Maclaurin da função f ( x )

Então precisamos encontrar um padrão na derivada em zero!

E depois? Depois que tivermos a série de potências, vamos encontrar o raio de convergência (que são os valores de x nos quais a série resultante é convergente) através do Teste da Razão para Convergência Absoluta

E agora o que fazer para determinar o intervalo?

Para achar o intervalo vamos testar na série de potência os valores dos extremos encontrado por nós! Se em um extremo a série resultante for convergente, isso significa que o intervalo é fechado nesse valor de x ! Caso contrário, dizemos que o intervalo é aberto!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa função é a seguinte

h x = x 2 1 + x 3

mas aqui tem um truque sujo! #ALERTATRUQUESUJO

Quando tivermos alguma potência de x “solta”, podemos encontrar o padrão de derivada do restante da função e depois quando tivermos a série de potências na mão, só adicionar a potência em x ! Além de ficar mais fácil de determinar o padrão, temos menos trabalho para derivar!

Vou “tirar” aquele x 2 por enquanto, e encontrar o padrão de derivada de 1 1 + x 3 . Vamos derivar e aplicar em x = 0 para determinar nosso padrão:

h x = 1 1 + x 3

h ' x = - 3 1 - x 4 → h ' 0 = - 3

h ' ' x = - 3 1 - x 5 . - 4 = 3.4 1 - x 5 → h ' ' 0 = 3.4

h ' ' ' x = 3.4 1 - x 6 . - 5 = - 3.4 . 5 1 - x 6 → h ' ' ' 0 = - 3.4 . 5

Tranquilo até aqui?

Agora vamos perceber um padrão nas derivadas aplicadas em x = 0 :

h ' 0 = - 3

h ' ' 0 = 3.4

h ' ' ' 0 = - 3.4 . 5

E assim por diante, se tivermos a derivada de ordem n , vamos multiplicar os inteiros até n + 2 , mas tirando o 2 , então

h ' n 0 = n + 2 ! 2

E mais! Ainda alternamos o sinal! Começamos com um sinal negativo, depois vamos alternando, assim precisamos multiplicar o fator que dá essa alternância, começando pelo negativo: - 1 n

h ' n 0 = - 1 n n + 2 ! 2

Beleza? Agora nossa função pode ser escrita em termos de uma série de potências:

h x = ∑ n = 0 ∞ f n ' 0 n ! x n

1 1 + x 3 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 ! 2 n ! x n

E ainda precisamos adicionar aquele x 2 para ficar exatamente como queremos

x 2 1 + x 3 = x 2 ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 ! 2 n ! x n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 ! 2 n ! x n + 2

Beleza?

Ainda podemos simplificar os fatoriais! Saca só

h x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 n + 1 n ! 2 n ! x n + 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 n + 1 2 x n + 2

Essa é nossa série de potências!

Passo 3

Agora nossa missão é identificar o raio e o intervalo de convergência e verificar se ele é aberto ou fechado em suas extremidades!

Vamos aplicar o Teste da Razão para Convergência Absoluta

Supondo uma série ∑ a n x n , para que ela seja convergente precisamos garantir que

a n + 1 x n + 1 a n x n   < 1

beleza?

Então é esse limite que precisamos encontrar!

Nossa série

∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 n + 1 2 x n + 2 → a n x n = n + 2 n + 1 2 x n + 2

a n + 1 = n + 3 n + 2 2 x n + 3

Aí nosso limite fica

n + 3 n + 2 x n + 3 2 . 2 x n + 2 n + 2 n + 1    

A parte em x pode sair para fora do limite, e simplificando os máximo ficamos com esse limite aqui

| x | n + 3 n + 1  

No infinito podemos desconsiderar as constantes + 3   e ( + 1 ) , pois a potência de x é muito maior do que uma constante, aí nosso limite fica assim

n + 3 n + 1   ≅ n n   = 1

Aí para que a série seja convergente, precisamos que

x n + 3 n + 1   ⏝ = 1 < 1

sendo assim, precisamos que | x | seja

x < 1

Esse é nosso raio de convergência!

Passo 4

Partindo do raio de convergência encontramos nosso intervalo:

I c :   - 1 < x < 1

Precisamos agora definir se o intervalo é aberto ou fechado nos extremos! Vamos testar na série de potências os dois valores de x :

x = - 1 ,   x = 1

Onde a série resultante for convergente, o intervalo será fechado. Caso contrário, será aberto. Ok?

Para o primeiro valor de x , com x = 1 , nossa série de potências

∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 n + 1 2 x n + 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 n + 1 2

Temos uma série alternada do tipo ∑ - 1 n + 1 a n !

O Teste das Séries alternadas nos diz que para haver a convergência precisamos satisfazer dois critérios:

1º) a n   = 0

2º)   a n + 1 < a n

Nossa série tem a n = n + 2 n + 1 2 , portanto n + 2 n + 1 2   = ∞ , ok! Primeiro critério já não foi satisfeito! Sendo assim já podemos concluir que a série é divergente e portanto ali o intervalo é aberto

Agora vamos testar com x = - 1 :

∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 n + 1 2 x n + 2 = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 n + 1 2

Fica assim

∑ n = 0 ∞ n + 2 n + 1 2

E pelo Teste da Divergência temos que

n + 2 n + 1 2   = ∞ ≠ 0

E nossa série aqui diverge! Nesse extremo nosso intervalo também é aberto

Aí o intervalo de convergência é

I c = ( - 1,1 )

Oba, terminamos! #partiu treinar mais?

Resposta

h x = ∑ n = 0 ∞ - 1 n n + 2 n + 1 2 x n + 2

I c = ( - 1,1 )

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n