O raio de convergência R e o intervalor de convergência I da série de potências ∑ n = 1 ∞ x + 1 n 2 n n 2 são respectivamente:

Escolha uma opção:

a. R = 0 e I = [ - 1 ,   - 1 ]

b. R = 2 e I = ( - 3 ,   1 )

c. R = 1 / 2 e I = [ - 3 / 2 ,   - 1 / 2 )

d. R = 1 / 2 e I = ( - 3 / 2 ,   - 1 / 2 ]

e. R = 2 e I = [ - 3 ,   1 )

f. R = 2 e I = [ - 3 ,   - 1 ]

g. R = 2 e I = ( - 3 ,   1 ]

h. R = 1 / 2 e I = ( - 3 / 2 ,   - 1 / 2 )

i. R = 0 e I = [ 1 ,   1 ]

j. R = 1 / 2 e I = [ - 3 / 2 ,   - 1 / 2 ]

k. R = ∞ e I = R

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão.

O enunciado nos deu a série:

∑ n = 1 ∞ x + 1 n 2 n n 2

E pediu pra gente encontrar o raio de convergência e o intervalo de convergência. Lembra como a gente faz isso?

O primeiro passo é a gente verificar o raio de convergência usando o teste da razão:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n

Então, se lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = L o nosso raio de convergência vai ser R = 1 / L . Depois disso, como a nossa série é centrada em - 1 , nós podemos fazer x 0 - R e x 0 + R para encontrar o nosso intervalo de convergência.

Vamos lá!

Passo 2

Usando o teste da razão, temos:

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = l i m n → ∞ x + 1 n + 1 2 n + 1 ( n + 1 ) 2 ∙ 2 n n 2 x + 1 n

Abrindo as potências, temos:

l i m n → ∞ x + 1 n x + 1 2 n ∙ n 2 2 n ∙ 2 ( n + 1 ) 2 x + 1 n

Simplificando:

l i m n → ∞ x + 1 n 2 2 ( n + 1 ) 2 = 1 2 l i m n → ∞ x + 1 n 2 ( n + 1 ) 2

Como o x não interfere no limite, podemos colocar ele do lado de fora também:

1 2 x + 1 l i m n → ∞ n 2 ( n + 1 ) 2 = 1 2 x + 1 l i m n → ∞ n 2 n 2 + 2 n + 1

Dividindo todo mundo por n 2 e aplicando o limite:

1 2 x + 1 l i m n → ∞ 1 1 + 2 n + 1 n 2 = 1 2   p a r a   t o d o   x ∈ R

Logo, o nosso raio de convergência será:

R = 1 L = 1 1 / 2 = 2

E o nosso intervalo de convergência para x 0 = - 1 , será:

x 0 - R = - 1 - 2 = - 3

x 0 + R = - 1 + 2 = 1

Só falta a gente saber se a nossa série está definida nos extremos desse intervalo, ou seja, em x = - 3 e x = 1 .

Passo 3

Para x = - 3 , temos:

∑ n = 1 ∞ - 3 + 1 n 2 n n 2 = ∑ n = 1 ∞ ( - 2 ) n 2 n n 2

Simplificando temos:

∑ n = 1 ∞ 2 n ( - 1 ) n 2 n n 2 = ∑ n = 1 ∞ ( - 1 ) n n 2

Que converge, pelo teste da série alternada. Logo, x = - 3 pertence ao intervalo.

Agora para x = 1 , temos:

∑ n = 1 ∞ 1 + 1 n 2 n n 2 = ∑ n = 1 ∞ ( 2 ) n 2 n n 2

Simplificando:

∑ n = 1 ∞ 1 n 2

Que também converge, pois é uma p-série com p > 1 . Portanto, x = 1 também pertence ao intervalo. Dessa forma, nosso intervalo de convergência será:

I = - 3 ,   1

E nós podemos marcar a letra f.

Encerramos o exercício. Valeu, galera! 😉

Resposta

f .   R = 2   e   I = [ - 3 ,   - 1 ]

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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