Seja ∑ k = 1 ∞ c k ( x - 2 ) k uma série de potência que satisfaz c k + 1 = c k ≠ 0 para todo k ≥ k 0 , para algum k 0 . Então

a ) O raio de convergência é 0 .

b ) O raio de convergência é 1 2 .

c ) O raio de convergência é .

d ) O raio de convergência da série é igual 1 .

e ) O raio de convergência é 2 .

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

O enunciado nos indica uma série de potência da forma

∑ k = 1 ∞ c k ( x - 2 ) k

e, nos diz que o elemento c k obedece a recorrência c k = c k + 1 ≠ 0 para todo e qualquer k ≥ k 0 . E, finalmente, nos pede para determinar o raio de convergência desta série! Bem, a informação da recorrência nos ajuda bastante, pois é sempre conveniente utilizar o teste da razão para calcular raios de convergência! Saca só!

Passo 2

Um teste que comumente é bastante útil para determinar raios de convergência é o teste da razão, o teste da razão é tal que

L   =   l i m k → ∞ | a k + 1 a k |

em que as condições de convergência são: para L < 1 a série é absolutamente convergente, para L > 1 , ou L = ∞ a série é divergente, e para L = 1 , o teste é inconclusivo! Temos que o nosso a k é dado por

a k = c k ( x - 2 ) k

e, portanto que

a k + 1 = c k + 1 ( x - 2 ) k + 1

E, o nosso limite toma a forma

L   =   l i m k → ∞ | c k + 1 ( x - 2 ) k + 1 c k ( x - 2 ) k |

Agora precisamos reescrever isso tudo um pouco! E tentar identificar nosso raio de convergência! Bora lá!

Passo 3

Usando que ( x - 2 ) k + 1 = ( x - 2 ) k ( x - 2 ) 1 , e também temos que c k + 1 = c k , podemos então simplificar um pouco o limite, temos que

  l i m k → ∞ | c k + 1 ( x - 2 ) k + 1 c k ( x - 2 ) k |   =   l i m k → ∞ | c k + 1 ( x - 2 ) k ( x - 2 ) c k ( x - 2 ) k | = l i m k → ∞ | ( x - 2 ) |

Como temos que o limite afeta apenas k , podemos escrever este limite como

| ( x - 2 ) | l i m k → ∞ [ 1 ] = | ( x - 2 ) |

ou seja, o nosso limite resulta em

L = | x - 2 |

Vamos lá analisar as nossas condições e terminar a questão!

Passo 4

Para que a série seja convergente é preciso que L < 1 , portanto, temos que

L = | x - 2 | < 1

Note que temos uma função modular, então para os valores de x em que x - 2 é positivo, precisamos obedecer o intervalo x - 2 < 1 , e quando os valores de x resultam em x - 2 negativos, temos que obedecer x - 2 > - 1 , ou seja, o seguinte intervalo

- 1 < x - 2 < 1

Se somarmos 2 em toda a desigualdade, temos que

- 1 + 2 < x - 2 + 2 < 1 + 2

ou, simplesmente

- 1 + 2 < x < 1 + 2

Isso nos dá um intervalo de convergência prévio como

I C   =   ( - 1 + 2 < x < 1 + 2 )

Não podemos dizer com certeza se o intervalo acima é o real conjunto de valores de x em que a série converge, precisamos testar os extremos antes de afirmar isso. Mas, o resultado acima é suficiente para identificar o raio de convergência! Bora lá!

Passo 5

O raio de convergência é a distância dos extremos para o centro de convergência, os elementos do conjunto acima tem em seu centro o valor x = 2 , que é obtido somando 1 ao extremo inferior, e ao se somar 1 ao centro de convergência obtemos o outro extremo, sendo ele x = 2 + 1 , sendo assim, temos que o raio de convergência é tal que

r = 1

Que é a alternativa d ) . A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

r = 1

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n