Se a série de potências ∑ k = 1 ∞ c k x k , converge para x = - r , então é correto afirmar que

a ) A série converge para x = r .

b ) A série converge para | x | ≤ r .

c ) A série diverge para | x | ≥ r .

d ) A série diverge para | x | > r .

e ) A série converge para | x | < r .

Passo 1

Oiie, tudo certinho contigo?

Na questão nos é dado que para x = - r temos que a série de potências é convergente! Temos que avaliar as seguintes afirmativas

a ) A série converge para x = r .

b ) A série converge para | x | ≤ r .

c ) A série diverge para | x | ≥ r .

d ) A série diverge para | x | > r .

e ) A série converge para | x | < r .

O enunciado dá poucas informações para seguirmos, no entanto, se considerarmos que x = - r é o extremo do raio de convergência, temos que a série converge ao menos para o seguinte intervalo

R   =   [ - r , r )

Note, que o extremo x = r não necessariamente é convergente! Seria necessário verificar! Ou seja, a informação acima é o máximo que podemos tirar do enunciado! Nestas condições vamos avaliar as alternativas! Vem comigo!

Passo 2

Primeiro, a série converge para x = r ? Não necessariamente, precisaríamos testar, com as informações do enunciado isso é impossível de determinar, portanto, não, a série não é convergente. A série converge para | x | ≤ r ? A igualdade x = r faz parte desta desigualdade, então, pelo mesmo argumento anterior, a série não necessariamente converge sob estas condições, da mesma forma, não podemos afirmar que ela converge para | x | ≥ r . No entanto, se removermos as igualdades podemos sim garantir que ela irá divergir para | x | > r e, que ela converge para | x | < r . Ou seja, temos que as alternativas d ) e e ) são verdadeiras sob a condição que x = - r é o limite inferior do raio de convergência!

A questão foi isso! Te vejo na próxima! Tchau Tchau!

Resposta

Afirmativas d ) e e ) são corretas!

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n