4. Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique

provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.

(h) Se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, então ela também converge absolutamente no outro extremo.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Para essa questão, vamos julgar uma afirmação como verdadeira ou falsa, além de provar nosso resultado.

Nesse caso, a afirmação que vamos avaliar nos diz que se uma série de potências é absolutamente convergente em um dos extremos de seu intervalo de convergência, logo o outro extremo também deve convergir absolutamente.

E então, acha que é verdadeiro ou falso? 🤔

Quando definimos o intervalo de convergência de uma série de potências, usamos o teste da razão forçando o limite ser menor que 1 , como por exemplo

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Correto? 😉

Passo 2

Porém nesse teste, existe uma peculiaridade!

Quando o limite resulta em 1 , nada se pode concluir, ou seja, quando lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1 a n tanto pode divergir quanto pode convergir.

Assim, nesses extremos onde o limite resulta em 1 devemos analisar a convergência caso a caso.

Se em um extremo a série converge e também podemos escrever o teste da razão como

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = 1

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = ± 1

Então o outro extremo também deve converter absolutamente!

Logo a afirmação do enunciado é verdadeira!

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

Verdadeira.

Exercícios de Livros Relacionados

Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n