4. Verifique se cada uma das afirmações abaixo é verdadeira ou falsa. Justifique

provando as verdadeiras e apresentando um contra-exemplo para as falsas.

(j) Uma série de potencias ∑ n = 1 ∞ a n pode convergir apenas em dois valores de x ∈ R .

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

O que temos que fazer nessa questão é avaliar algumas afirmações e dizer se tal afirmação é verdadeira ou falsa, provando o porquê do nosso veredito.

Essa afirmação diz que dado uma série de potências ∑ n = 1 ∞ a n , a convergência ocorre apenas em dois valores para x que pertencem aos R .

Será mesmo?? 🤔🤔

Antes de avaliar essa pergunta, vamos lembrar como definimos os valores para x que fazem a série de potências convergir.

Chamamos de intervalo de convergência os intervalos de valores para x que fazem a série convergir.

Para obter esse método usamos o teste da razão.

Lembra como é? 😁

Passo 2

O teste da razão é obtido através do limite do módulo de a n + 1 / a n e forçamos a convergência fazendo o limite ser menor que 1 , ou seja

lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Tirando o módulo do limite, podemos dizer que existe um intervalo de convergência em

- 1 < lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n < 1

Lembrando também que quando o limite é igual a 1 pelo teste da razão, não podemos afirmar nada, então a série tem a possibilidade de convergir, o que deve ser analisado individualmente nos extremos do intervalo.

Dessa forma, uma série de potências não converge em apenas dois valores para x , mas sim em um intervalo de valores.

Portanto a afirmação do enunciado está errada!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

Falsa

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 2 n x n n 4
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 3 n 2 n + 1
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n 2 x n 2 ∙ 4 ∙ 6 ∙ … ∙ ( 2 n )
Encontre o raio de convergência e o intervalo de convergência da série: ∑ n = 1 ∞ n x n