Determine o intervalo e o raio de convergência da série de potências dada

b )   ∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 2 n 3 n

Passo 1

Olá, tudo tranquilo? Precisamos descobrir o raio de convergência dessa série de potências aqui

∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 2 n 3 n

Mas você lembra como encontrar?

Dizemos que uma série converge absolutamente quando o módulo da série converge! E aqui você pode usar o teste da Razão para Convergência Absoluta!

Ele nos diz que: supondo uma série de potências do tipo

∑ n = 0 ∞ a n x n

Dizemos que ela é convergente se

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 x n + 1 a n x < 1

Então a ideia aqui é determinar esse limite e verificar para quais valores de x isso acontece!

Desse resultado vamos obter o raio de convergência! Nosso raio será x < R !

E agora o que fazer para determinar o intervalo?

Para achar o intervalo vamos testar na série de potência os valores dos extremos encontrado por nós! Se em um extremo a série resultante for convergente, isso significa que o intervalo é fechado nesse valor de x ! Caso contrário, dizemos que o intervalo é aberto!

Mas pode ficar tranquilo, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Nossa série é a seguinte

∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 2 n 3 n

Nosso termo geral, incluindo a parte em x , é

a n = - 1 n x - 2 n 3 n

Agora fazendo n → n + 1 temos

a n + 1 = - 1 n + 1 x - 2 n + 1 3 ( n + 1 ) = - 1 n - 1 x - 2 n ( x - 2 ) 3 n + 3

Tranquilo até aqui?

Agora vamos determinar a razão a n + 1 a n e avaliar no limite quando n → ∞

a n + 1 a n = - 1 n - 1 x - 2 n ( x - 2 ) 3 n + 3   . 3 n - 1 n x - 2 n = 3 n 3 n + 3 . x - 2

Agora vamos calcular o limite

ρ = lim n → ∞ ⁡ a n + 1 a n = lim n → ∞ ⁡ 3 n 3 n + 3 . x - 2

A parte dependente de x pode sair do limite, ficamos apenas com a parte em n

ρ = x - 2 lim n → ∞ ⁡ 3 n 3 n + 3

Beleza?

Aplicando a Regra de L’Hôpital no limite temos (lembrando que o limite pode passar para dentro da raiz)

lim n → ∞ ⁡ 3 n 3 n + 3 = lim n → ∞ ⁡ 3 3 = 1

Então nosso limite converge! Ótima notícia!

Relembrando dos critérios para a convergência

Dizemos que a série converge absolutamente quando

ρ = x - 2 lim n → ∞ ⁡ 3 n 3 n + 3 ⏝ = 1 = | x - 2 | < 1

Então

x - 2 < 1

Encontramos portanto nosso raio de convergência!

R c = 1

Passo 3

Agora nossa missão é identificar o intervalo de convergência e verificar se ele é aberto ou fechado em suas extremidades! Partindo do raio de convergência

x - 2 < 1

- 1 < x - 2 < 1

E resolvendo a desigualdade simultaneamente

- 1 + 2 < x < 1 + 2

1 < x < 3

Encontramos nosso intervalo:

I c :   1 < x < 3

Precisamos agora definir se o intervalo é aberto ou fechado nos extremos! Vamos testar na série de potências os dois valores de x :

x = 1 ,   x = 3

Onde a série resultante for convergente, o intervalo será fechado. Caso contrário, será aberto.

Passo 4

Passo 5

Para o primeiro valor de x , com x = 1 , nossa série de potências

∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 2 n 3 n

Fica assim

∑ n = 1 ∞ - 1 n - 1 n 3 n = ∑ n = 0 ∞ 1 3 n

E agora, será que converge?

Lembrando dos tipos de séries que vimos, a que mais se parece é com a p-série! Dizemos que é do tipo p-série quando podemos escrever ∑ 1 n p , se p > 1 então a série converge. Se não, diverge! Nossa série

∑ n = 1 ∞ 1 3 n → p = 1 2 < 1

Concluímos que é uma série divergente! Então nesse extremo o intervalo é aberto!

x = 3

∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 - 2 n 3 n = ∑ n = 1 ∞ - 1 n 3 n

Temos uma série alternada do tipo ∑ - 1 n a n ! O Teste das Séries alternadas nos diz que para haver a convergência precisamos satisfazer dois critérios:

1º) lim n → ∞ ⁡ a n = 0

2º) a n + 1 < a n

Nossa série tem a n = 1 / 3 n , portanto lim n → ∞ ⁡ 1 / 3 n = 0 , até aqui ok! Agora o segundo critério

a n + 1 = 1 3 n + 3 < 1 3 n = a n

Também é satisfeito! Isso significa que nossa série é convergente, e nesse extremo o intervalo é fechado

Passo 6

Recapitulando, nossa série:

∑ n = 1 ∞ - 1 n x - 2 n 3 n

Achamos o raio de convergência

x - 2 < 1 = R

E intervalo com os dois extremos abertos

I c = ( 1,3 ]

Tranquilo gente? É isso! Bora praticar mais?

Resposta

I c = ( 1,3 ]

R = 1

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Suponha que a série de potências ∑ c n x - a n satisfaça c n ≠ 0 para todo n . Mostre que, se l i m n → ∞c n c n + 1 existir, então ele será igual ao raio de convergência da série de potências.
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