Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 3, Questão 21

Passo 1

Funções de classe C 1 são aquelas que tem derivadas parciais de primeira ordem contínuas.

Vamos então verificar se isso acontece com a nossa função.

A primeira coisa é calcular as derivadas parciais para depois vermos se são contínuas em todo o R 3 .

Derivada parcial em relação a x :

f x = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 x

f x = x x 2 + y 2 + z 2

Derivada parcial em relação a y :

f y = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 y

f y = y x 2 + y 2 + z 2

Derivada parcial em relação a z :

f z = 1 2 x 2 + y 2 + z 2 ∙ 2 z

f z = z x 2 + y 2 + z 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos testar a continuidade dessas derivadas parciais.

Pra uma função ser contínua, ela precisa que

lim x , y , z → ( x 0 , y 0 , z 0 ) ⁡ f ( x , y , z ) = f ( x 0 , y 0 , z 0 )

E, olhando para nossas derivadas, a gente vê que elas não estão definidas na origem, por conta de termos x , y e z nos denominadores.

Assim, não existe f x ( 0,0 , 0 ) , nem f y ( 0,0 , 0 ) e nem f z ( 0,0 , 0 ) de modo que não tem como o limite ser igual a isso.

Então, embora nossa função tenha derivadas parciais de primeira ordem, essas derivadas parciais não são contínuas em todo o R 3 , logo, a função não é de classe C 1 em ( 0,0 , 0 ) .

Resposta

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