13] Mostre que u x , y = G y - 3 x , onde G é uma função diferenciável arbitrária, é uma solução geral da equação em derivadas parciais

∂ x u x , y + 3 ∂ y u x , y = 0

Passo 1

E aí! Suave na nave?! Tá difícil essa questão? Relaxa que a gente vai te ajudar!

Nesse problema temos que provar que u x , y = G y - 3 x a partir da equação de derivadas parciais ∂ x u x , y + 3 ∂ y u x , y = 0

E aí, como vamos fazer isso? 🤔

Vamos reescrever a igualdade u x , y = G y - 3 x como

G t = u x , t

Onde t = y - 3 x .

Assim, como t é uma função, temos que a derivada de u em relação a x é obtida pela regra da cadeia...

Sacou? Bora ver como isso se aplica! 😁

Passo 2

Para derivar u com relação a x , temos que

∂ x u = ∂ u ∂ x = ∂ G ∂ x

∂ u ∂ x = ∂ t ∂ x ∂ G ∂ t

Se t = y - 3 x , então

∂ u ∂ x = ∂ y - 3 x ∂ x ∂ G ∂ t

∂ u ∂ x = - 3 ∂ G ∂ t

Agora fazendo o mesmo com relação a y , vamos obter

∂ y u = ∂ u ∂ y = ∂ G ∂ y

∂ u ∂ y = ∂ y - 3 x ∂ y ∂ G ∂ t

∂ u ∂ y = ∂ G ∂ t

Substituindo na equação do problema, temos

∂ x u x , y + 3 ∂ y u x , y = 0

- 3 ∂ G ∂ t + 3 ∂ G ∂ t = 0

0 = 0

O que achou? Foi de boa? Responde aí! 😊

Resposta

- 3 ∂ G ∂ t + 3 ∂ G ∂ t = 0

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