Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de:

(c) f x ,   y = sin ⁡ x 2 - y 3

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função f ( x ,   y ) . Então, vamos calcular:

∂ f x ,   y ∂ x       e     ∂ f x ,   y ∂ y

Que são as derivadas parciais da função em relação a x e em relação a y , respectivamente.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x ,   y = sin ⁡ x 2 - y 3

Então, derivando primeiro em relação a x :

∂ f x ,   y ∂ x = ∂ ∂ x sin ⁡ x 2 - y 3

E usando a regra da cadeia, temos a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro:

∂ f x ,   y ∂ x = co s ⁡ x 2 - y 3 ∙ ∂ ∂ x x 2 - y 3

∂ f x ,   y ∂ x = cos ⁡ x 2 - y 3 ∙ ( 2 x )

Simplificando:

∂ f x ,   y ∂ x = 2 x cos ⁡ x 2 - y 3

Passo 3

Agora vamos derivar da mesma forma em relação a y :

∂ f x ,   y ∂ y = ∂ ∂ y sin ⁡ x 2 - y 3

Também aplicando a regra da cadeia, temos:

∂ f x ,   y ∂ y = cos ⁡ x 2 - y 3 ∙ ∂ ∂ y x 2 - y 3

∂ f x ,   y ∂ y = cos ⁡ x 2 - y 3 ∙ ( - 3 y 2 )

Simplificando:

∂ f x ,   y ∂ y = - 3 y 2 cos ⁡ x 2 - y 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ f x ,   y ∂ x = 2 x cos ⁡ x 2 - y 3

∂ f x ,   y ∂ y = - 3 y 2 cos ⁡ x 2 - y 3

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