7 - Determine f x x , f x y , f y x e f y y para cada uma das seguintes funções:

b) f x , y = s e n x 2 - 3 x y

Passo 1

Iae, meus queridos! Está com dificuldades nessa questão? Não se preocupe! Estamos aqui para ajudar 😉

Essa questão foi bem direta, foi dado fuma função f x , y = s e n x 2 - 3 x y e nos pediram pra calcular f x x , f x y , f y x e f y y .

Mas talvez você se pergunte: “o que é f x x , f x y , f y x e f y y ??” 🤔

É mais simples do que parece!

Lembra que pra representar uma derivada parcial de uma função, ao invés de escrevermos ∂ f ∂ x , passamos a escrever f x por ser mais prático. A ideia aqui é a mesma, a diferença é que f x x representa a segunda derivada de f com relação a x . f x y representa a derivada de f em relação a y da derivada parcial de f em relação a x e assim por diante.

Essas representações são uma maneira mais pratica de escrever, por exemplo

∂ 2 f ∂ x 2 = f x x ;   ∂ 2 f ∂ x ∂ y = f x y ;   ∂ 2 f ∂ y ∂ x = f y x ; ∂ 2 f ∂ y 2 = f y y

Percebeu como a representação é mais prática?

Bora para os cálculos!

Passo 2

Vamos com calma pois com passo a passo a gente chega em qualquer lugar.

Primeiro vamos calcular a primeira derivada parcial de f com relação a x .

f x = ∂ f ∂ x = ∂ s e n x 2 - 3 x y ∂ x

Perceba que temos uma função composta que podemos escrever como f x , y = g h x , y , onde h x , y = x 2 - 3 x y e g h x , y = s e n h x , y

Dessa forma, temos que aplicar a regra da cadeia para derivar essa função.

Ta ligado como aplica a regra da cadeia?

Ela diz o seguinte “a derivada de uma função composta é igual ao produto da derivada da função de dentro com a função de fora”. Ou seja

∂ s e n x 2 - 3 x y ∂ x = ∂ x 2 - 3 x y ∂ x · ∂ s e n u ∂ u

Onde u = x 2 - 3 x y .

∂ x 2 - 3 x y ∂ x = ( 2 x - 3 y )

∂ s e n u ∂ u = cos ⁡ u

Substituindo u por x 2 - 3 x y , temos cos ⁡ x 2 - 3 x y , logo

∂ s e n x 2 - 3 x y ∂ x = ( 2 x - 3 y ) cos ⁡ x 2 - 3 x y

f x = ( 2 x - 3 y ) cos ⁡ x 2 - 3 x y

Com f x em mãos, podemos calcular f x x e f x y .

A segunda derivada de f com relaçãoa x f x x será

f x x = ∂ f x ∂ x = ∂ 2 x - 3 y cos ⁡ x 2 - 3 x y ∂ x

Perceba que neste caso temos um misto agora, pois temos f x , y = g x , y · h k x , y , ou seja, vamos mesclar duas técnicas de derivação: a regra do produto com a regra da cadeia.

Já vimos como aplicamos a regra da cadeia, mas e a regra do produto? Sabe como é?

A regra do produto é calculada como a derivada da primeira função multiplicado pela segunda função, mais a primeira função multiplicada pela derivada da segunda função. Desse jeito aqui

f ' = g ' · h + g · h '

Ou seja

∂ 2 x - 3 y cos ⁡ x 2 - 3 x y ∂ x = ∂ 2 x - 3 y ∂ x cos ⁡ x 2 - 3 x y + 2 x - 3 y ∂ cos ⁡ x 2 - 3 x y ∂ x

Resolvendo as derivadas perceba que em ∂ cos ⁡ x 2 - 3 x y ∂ x temos que usar a regra da cadeia, que usamos em f x .

f x x = 2 cos ⁡ x 2 - 3 x y + 2 x - 3 y 2 x - 3 y - s e n x 2 - 3 x y

f x x = 2 cos ⁡ x 2 - 3 x y - 2 x - 3 y ² s e n x 2 - 3 x y

Entendeu?

Passo 3

Para calcular f x y , vamos calcular

f x y = ∂ f x ∂ y = ∂ 2 x - 3 y cos ⁡ x 2 - 3 x y ∂ y

Derivamos f x com relação a y , temos que aplicar a regra do produto e a regra da cadeia novamente. Onde

∂ 2 x - 3 y cos ⁡ x 2 - 3 x y ∂ y = ∂ 2 x - 3 y ∂ y cos ⁡ x 2 - 3 x y + 2 x - 3 y ∂ cos ⁡ x 2 - 3 x y ∂ y

Vamos aplicar a regra da cadeia em ∂ cos ⁡ x 2 - 3 x y ∂ y = ∂ x 2 - 3 x y ∂ y ∂ cos ⁡ u ∂ u , para u = x 2 - 3 x y assim, temos

f x y = - 3 cos ⁡ x 2 - 3 x y + 2 x - 3 y - 3 x - s e n x 2 - 3 x y

f x y = - 3 cos ⁡ x 2 - 3 x y + 2 x - 3 y 3 x s e n x 2 - 3 x y

Resolvendo a distributiva de 3 x

f x y = - 3 cos ⁡ x 2 - 3 x y + 6 x 2 - 9 x y s e n x 2 - 3 x y

Agora calculamos a derivada de f com relação a y , para depois calcularmos f y x e f y y

f y = ∂ f ∂ y = ∂ s e n x 2 - 3 x y ∂ y

Vamos aplicar a regra da cadeia novamente, mas dessa vez com relação a y , onde u = x 2 - 3 x y .

∂ s e n x 2 - 3 x y ∂ y = ∂ x 2 - 3 x y ∂ y · ∂ s e n u ∂ u

f y = - 3 x cos ⁡ x 2 - 3 x y

Com f y calculados, podemos calcular f y x , ou seja, a derivada de f y com relação a x .

f y x = ∂ f y ∂ x = ∂ - 3 x cos ⁡ x 2 - 3 x y ∂ x

Novamente temos que usar a combinação de dois métodos de derivação, a regra do produto e a regra da cadeia.

∂ - 3 x cos ⁡ x 2 - 3 x y ∂ x = ∂ - 3 x ∂ x cos ⁡ x 2 - 3 x y + - 3 x ∂ cos ⁡ x 2 - 3 x y ∂ x

Vamos aplicar a regra da cadeia em ∂ cos ⁡ x 2 - 3 x y ∂ x , onde temos

∂ cos ⁡ x 2 - 3 x y ∂ x = ∂ x 2 - 3 x y ∂ x ∂ cos ⁡ u ∂ u

Substituindo em f y x , temos

f y x = ∂ - 3 x ∂ x cos ⁡ x 2 - 3 x y + - 3 x ∂ x 2 - 3 x y ∂ x ∂ cos ⁡ u ∂ u

f y x = - 3 cos ⁡ x 2 - 3 x y + - 3 x 2 x - 3 y - s e n x 2 - 3 x y

Simplificando a equação, temos

f y x = - 3 cos ⁡ x 2 - 3 x y + 6 x - 9 x y s e n x 2 - 3 x y

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Por fim, vamos derivar f y com relação a y para encontrar f y y

f y y = ∂ f y ∂ y = ∂ - 3 x cos ⁡ x 2 - 3 x y ∂ y

- 3 x se comporta como uma constante, então pode sair da derivada

f y y = - 3 x ∂ cos ⁡ x 2 - 3 x y ∂ y

Para resolver a derivada, temos que aplicar a regra da cadeia: “a derivada de dentro multiplicado pela derivada de fora”.

∂ cos ⁡ x 2 - 3 x y ∂ y = ∂ x 2 - 3 x y ∂ y ∂ cos ⁡ u ∂ u

Para u = x 2 - 3 x y

Substituindo em f y y

f y y = - 3 x ∂ x 2 - 3 x y ∂ y ∂ cos ⁡ u ∂ u

f y y = - 3 x - 3 x - s e n x 2 - 3 x y

Simplificando um pouco mais a equação, temos

f y y = - 9 x 2 s e n x 2 - 3 x y

Encontramos todas as derivadas que foram pedidas!

É isso, espero ter ajudado! Entendeu tudo? Responde Aí! 😎👍

Resposta

f x x = 2 cos ⁡ x 2 - 3 x y - 2 x - 3 y ² s e n x 2 - 3 x y

f x y = - 3 cos ⁡ x 2 - 3 x y + 6 x 2 - 9 x y s e n x 2 - 3 x y

f y x = - 3 cos ⁡ x 2 - 3 x y + 6 x - 9 x y s e n x 2 - 3 x y

f y y = - 9 x 2 s e n x 2 - 3 x y

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