Seja f : R 2 → R dada por f x , y = max ⁡ x 3 + y , y 3 + x . O valor de ∂ f ∂ x ( 0,0 ) é _____.

O valor de ∂ f ∂ x 1,0 é ______.

Passo 1

Eaew, belezinha?

Aqui o enunciado nos dá uma função que leva de um par de coordenadas para um valor único real, sendo o maior valor entre as duas coordenadas, e nos pede para calcular as derivadas parciais em dois pontos específicos. Para resolver esta que relembrar a definição de derivadas parciais, ela é dada como

∂ f ( x , y ) ∂ x = lim Δ x → 0 ⁡ f x + Δ x , y - f ( x , y ) Δ x

Teremos uma expressão análoga para ∂ / ∂ y . A derivada parcial apenas existe no ponto estabelecido quando o limite acima existe. Vamos tentar avaliar isso!

Passo 2

Como essa é uma derivada parcial, e estamos apenas interessados na derivada em relação a x , não precisamos analisar a função como um todo. Os pontos em que foram avaliados a derivadas tem ambos coordenada y = 0 , portanto, só precisamos nos podemos analisar uma função do tipo

g x = f x , 0 = max ⁡ x 3 , 0

Se a derivada g ' ( 0 ) e g ' ( 1 ) existirem, então ambas minhas derivadas parciais existem. Mas note que isso agora se torna uma derivada simples, já que temos apenas uma variável. Portanto, a derivada é obtida por:

g ' x = lim h → 0 ± ⁡ g x - h - g ( x ) h ⁡

Vamos partir daqui!

Passo 3

No ponto ( 0,0 ) , temos x = 0 , portanto

g ' 0 = lim h → 0 ± ⁡ g - h - g ( 0 ) h

E usando que g x = m a x ⁡ { x 3 , 0 } . Temos

g ' 0 = lim h → 0 ± ⁡ m a x ⁡ { - h / 3,0 } - m a x ⁡ { 0,0 } h

A segunda função máxima sempre dará 0 , mas a primeira irá depender se estou analisando o sistema pela direita ou pela esquerda! Saca só!

Passo 4

Se realizo limite pela esquerda, tenho que h < 0 , portanto, a função máxima me escolhe o valor h / 3 . Se realizo o limite pela direita, tenho que h > 0 , portanto, a função máxima me escolhe o valor 0 , pois agora temos valores negativos nas coordenadas x . Isso é importante, pois

lim h → 0 + ⁡ 0 - 0 h = 0 ≠ lim h → 0 - ⁡ h 3 - 0 h = 1 3

Como os limites laterais são diferentes, temos que a derivada g ' 0 = ∂ f ( 0,0 ) ∂ x não existe! Ou seja, é inexistente! Vamos analisar agora o outro ponto!

Passo 5

Se pegarmos agora o ponto ( 1,0 ) , temos

g ' 1 = lim h → 0 ± ⁡ g 1 - h - g ( 1 ) h = lim h → 0 ± ⁡ max ⁡ 1 - h 3 , 0 - max ⁡ { 1 / 3,0 } h

A segunda função máxima sempre nos dará o valor 1 / 3 , no entanto, a primeira função escolherá agora sempre o valor 1 - h 3 , contanto, que h < 1 , e, uma vez que h → 0 , isto está garantido. Portanto, nosso limite toma a forma

g ' 1 = lim h → 0 ± ⁡ 1 - h 3 - 1 3 h = lim h → 0 ± ⁡ h / 3 h

Que simplificando nos garante que

g ' 1 = 1 / 3

Independentemente do lado em que o limite é tomado. Portanto

∂ f ( 1,0 ) ∂ y = 1 / 3

A questão é isso! Te vejo na próxima! Tchauzinho!

Resposta

∂ f 0,0 ∂ x → i n e x i s t e n t e         e             ∂ f ( 1,0 ) ∂ y = 1 / 3

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