Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 6, Questão 12

Passo 1

Primeiro, vamos entender quem é quem aí.

u = u x , t = F x + c t + G ( x - c t )

F = F ( r )

G = G ( s )

r = x + c t

s = x - c t

Então, para mostrar essa igualdade aí do enunciado, precisamos encontrar as derivadas parciais. E, para isso, teremos que usar a regra da cadeia.

Vamos lá então.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

A regra da cadeia para a derivada parcial em relação a x é

∂ u ∂ x = ∂ F ∂ r . ∂ r ∂ x + ∂ G ∂ s . ∂ s ∂ x

Assim,

∂ u ∂ x = F ' ( x + c t ) . ( 1 ) + G ' ( x - c t ) . ( 1 )

E para a derivada em relação a t é

∂ u ∂ t = ∂ F ∂ r . ∂ r ∂ t + ∂ G ∂ s . ∂ s ∂ t

Assim,

∂ u ∂ t = F ' ( x + c t ) . ( c ) + G ' ( x - c t ) . ( - c )

Passo 3

Agora precisamos pegar essas duas derivadas e derivar de novo.

Para isso vamos precisar usar a regra do produto e a regra da cadeia.

Para a derivada em relação a x :

∂ 2 u ∂ x 2 = F ' ' x + c t . 1 ∙ 1 + 0 . F ' x + c t + G ' ' x - c t . 1 ∙ 1 + 0 . G ' x + c t

∂ 2 u ∂ x 2 = F ' ' x + c t + G ' ' x - c t

E para a derivada em relação a t :

∂ u ∂ t = F ' ( x + c t ) . ( c ) + G ' ( x - c t ) . ( - c )

∂ 2 u ∂ t 2 = F ' ' x + c t . c ∙ c + 0 . F ' x + c t + G ' ' x - c t . - c ∙ - c + 0 . G ' x - c t

∂ 2 u ∂ t 2 = F ' ' x + c t ∙ c 2 + G ' ' x - c t . c 2

Passo 4

Assim, de acordo com o enunciado, temos que

∂ 2 u ∂ t 2 = c 2 ∂ 2 u ∂ x 2

O que é verdade, pelas derivadas segundas que acabamos de calcular, pois

∂ 2 u ∂ t 2 = F ' ' x + c t ∙ c 2 + G ' ' x - c t . c 2 = c 2 F ' ' x + c t + G ' ' x - c t

E

c 2 ∂ 2 u ∂ x 2 = c 2 F ' ' x + c t + G ' ' x - c t

Resposta

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