Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de:

(f) f x ,   y ,   z ,   u ,   v = x y z u 2 v 4

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função f ( x ,   y ) . Então, vamos calcular:

∂ f x ,   y ∂ x       ,     ∂ f x ,   y ∂ y ,         ∂ f x ,   y ∂ z ,     ∂ f x ,   y ∂ u ,     ∂ f x ,   y ∂ v

Que são as derivadas parciais da função em relação a x ,   y ,   z ,   u e v , respectivamente.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada pela integral definida:

f x ,   y ,   z ,   u ,   v = x y z u 2 v 4

Então, derivando primeiro em relação a x , vamos colocar todas as outras variáveis, que se comportam como constantes, fora da derivada. Assim:

∂ f x ,   y ∂ x = y z u 2 v 4 ∂ ∂ x x

E derivando, temos:

∂ f x ,   y ∂ x = y z u 2 v 4 ∙ ( 1 )

Simplificando:

∂ f x ,   y ∂ x = y z u 2 v 4

Passo 3

Da mesma forma, vamos derivar nossa função em relação a y :

∂ f x ,   y ∂ y = x z u 2 v 4 ∂ ∂ y y

∂ f x ,   y ∂ y = x z u 2 v 4 ∙ ( 1 )

Simplificando:

∂ f x ,   y ∂ y = x z u 2 v 4

Passo 4

Derivando em relação a z , temos:

∂ f x ,   y ∂ z = x y u 2 v 4 ∂ ∂ z z

∂ f x ,   y ∂ z = x y u 2 v 4 ∙ ( 1 )

Simplificando:

∂ f x ,   y ∂ z = x y u 2 v 4

Passo 5

Derivando em relação a u , temos:

∂ f x ,   y ∂ u = x y z v 4 ∂ ∂ u u 2

∂ f x ,   y ∂ u = x y z v 4 ∙ ( 2 u )

∂ f x ,   y ∂ u = 2 x y z u v 4

Passo 6

Por fim, vamos derivar em relação a v :

∂ f x ,   y ∂ v = x y z u 2 ∂ ∂ v v 4

∂ f x ,   y ∂ v = x y z u 2 ∙ ( 4 v 3 )

∂ f x ,   y ∂ v = 4 x y z u 2 v 3

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ f x ,   y ∂ x = y z u 2 v 4

∂ f x ,   y ∂ y = x z u 2 v 4

∂ f x ,   y ∂ z = x y u 2 v 4

∂ f x ,   y ∂ u = 2 x y z u v 4

∂ f x ,   y ∂ v = 4 x y z u 2 v 3

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1