Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de:

(d) f x ,   y = ∫ x y g t d t

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função f ( x ,   y ) . Então, vamos calcular:

∂ f x ,   y ∂ x       e     ∂ f x ,   y ∂ y

Que são as derivadas parciais da função em relação a x e em relação a y , respectivamente.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada pela integral definida:

f x ,   y = ∫ x y g t d t

Então, derivando primeiro em relação a x , vamos ter:

∂ f x ,   y ∂ x = ∂ ∂ x ∫ x y g t d t

A gente tem a derivada de uma integral, quê que isso nos lembra? O nosso queridíssimo Teorema Fundamental do Cálculo, não é mesmo? Ele nos assegura que a derivada da integral de uma função é igual a própria função.

Então, pra derivar em relação a x , consideramos y constante e teremos:

∂ ∂ x ∫ x y g t d t = g ( y )

Da mesma forma, considerando x constante, teremos a derivada em relação a y :

∂ ∂ y ∫ x y g t d t = g ( x )

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ f x ,   y ∂ x = g ( y )

∂ f x ,   y ∂ y = g ( x )

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