Encontre as derivadas parciais, como se fossem derivadas ordinárias, considerando constantes todas menos uma das variáveis.

(2) f x ,   y = x + y y 2 - x 2 ;

D 2 f ( x ,   y )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada parcial da função em relação y , como se fossem derivadas ordinárias. Isso quer dizer que vamos variar apenas y e considerar as outras variáveis como constantes na derivação.

A gente sabe que essa derivada é em relação a y por causa da notação D 2 f ( x ,   y ) , que corresponde a derivada da primeira variável da função, e também pode ser escrita na forma ∂ ∂ y   f ( x ,   y ) .

Para a função f x ,   y = x + y y 2 - x 2 , vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia na derivação também. Derivando a função de fora aplicada na função de dentro e multiplicando pela derivada da função de dentro.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando f x ,   y = x + y y 2 - x 2 em relação a y , considerando x constante:

∂ ∂ y   f x ,   y = ∂ ∂ y x + y y 2 - x 2

Vamos derivar usando a regra do quociente (derivada do numerador vezes o denominador, menos derivada do denominador vezes o numerador, sobre o denominador ao quadrado):

∂ ∂ y   f x ,   y = ∂ ∂ y x + y y 2 - x 2 - ∂ ∂ y y 2 - x 2 ( x + y ) y 2 - x 2 2

Em ∂ ∂ y x + y , derivamos usando a regra da potência ( y n ' = n y n - 1 ), considerando x constante. E em ∂ ∂ y y 2 - x 2 , derivamos usando a Regra da Cadeia. Assim, temos:

∂ ∂ y   f x ,   y = 1 ∙ y 2 - x 2 - 2 y 2 y 2 - x 2 ( x + y ) y 2 - x 2 2

Simplificando:

∂ ∂ y   f x ,   y = y 2 - x 2 - y ( x + y ) y 2 - x 2 y 2 - x 2

Tirando o M.M.C no numerador e fazendo a divisão de frações, temos:

∂ ∂ y   f x ,   y = y 2 - x 2 - y ( x + y ) y 2 - x 2 y 2 - x 2

∂ ∂ y   f x ,   y = y 2 - x 2 - y ( x + y ) y 2 - x 2 ∙ 1 y 2 - x 2

Vamos simplificar os termos semelhantes novamente:

∂ ∂ y   f x ,   y = y 2 - x 2 - y x - y 2 ( y 2 - x 2 ) y 2 - x 2

∂ ∂ y   f x ,   y = - x 2 - y x ( y 2 - x 2 ) y 2 - x 2

Colocando x em evidência no numerador e fatorando o produto notável ( y 2 - x 2 ) no denominador, temos:

∂ ∂ y   f x ,   y = - x ( x + y ) ( y + x ) ( y - x ) y 2 - x 2

Simplificando, temos nosso resultado:

∂ ∂ y   f x ,   y = - x ( y - x ) y 2 - x 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ ∂ y   f x ,   y = - x ( y - x ) y 2 - x 2

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