Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

Considere a função f : R 2 → R dada por

f x , y = y 3 x + y 2 ,       x , y ≠ ( 0,0 ) 0 ,       x , y = 0,0

a) f é contínua na origem?

b) Calcule ∂ f ∂ x   e ∂ f ∂ y

Passo 1

a) Para a gente ver se a função é contínua na origem, a gente vai ter que mostrar que o limite da função restrita a duas formas diferentes de se aproximar da origem, assume valores diferentes!

Primeiro vamos considerar y = 0 , assim, x → 0

lim x → 0 ⁡ f ( x , 0 ) = lim x → 0 ⁡ 0 3 x + 0 2 = 0

Agora tomando x = y 3 - y 2 e fazendo y → 0 nós vamos ter

lim y → 0 ⁡ f ( y 3 - y 2 ,   y ) = lim y → 0 ⁡ y 3 y 3 - y 2 + y 2 = 1

Opa!! Como termos valores diferentes, nossa resposta é não! A função não é contínua na origem.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b) Calculando as derivadas parciais (em um ponto com x , y ≠ 0,0 )  

∂ f ∂ x x , y = - y 3 x + y 2 2    

∂ f ∂ y x , y = 3 y 2 x + y 2 - y 3 2 y x + y 2 2 = 3 x y 2 + y 4 x + y 2 2

Até aí tranquilo. O problema agora vai ser na origem. Pra calcular a gente vai ter que usar a definição da derivada

∂ f ∂ x 0,0 = lim h → 0 ⁡ f 0 + h , 0 - f 0,0 h = 0

∂ f ∂ y 0,0 = lim k → 0 ⁡ f 0 ,   0 + k - f 0,0 k = lim k → 0 ⁡ 1 k k 3 k 2 = 1  

Resposta

a )   n ã o

b )   ∂ f ∂ x x , y = - y 3 x + y 2 2    

∂ f ∂ y x , y = 3 x y 2 + y 4 x + y 2 2

∂ f ∂ x 0,0 = 0

∂ f ∂ y 0,0 = 1  

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