6.1) Seja f : R 2 → R uma função com derivadas parciais contínuas e suponha que a equação f y x , z x = 0 define z como uma função diferenciável de x e y , ou seja, z = g ( x , y ) . Mostre que

x ∂ g ∂ x + y ∂ g ∂ y = g

Nos pontos nos quais D 2 f y x , g x , y x ≠ 0 , em que D 2 f indica a derivada parcial de f em relação à segunda variável.

Passo 1

Falaaa... tudo bem??

Nessa questão vamos mostrar que x ∂ g ∂ x + y ∂ g ∂ y = g a partir da equação f y x , z x = 0 e z = g ( x , y ) .

Pra isso, vamos usar a regra da cadeia pra derivadas parciais.

Passo 2

Derivando, implicitamente, f em relação a x :

∂ ∂ x f y x , g x , y x = ∂ f ∂ y x ⋅ ∂ y x ∂ x + ∂ f ∂ g x , y x ⋅ ∂ g x , y x ∂ x

Calculando:

∂ y x ∂ x = - y x 2

∂ g x , y x ∂ x = ∂ g �� x 1 x + g - 1 x 2 = 1 x ∂ g ∂ x - g x 2

Como f y x , g x , y x = 0 , então:

∂ ∂ x f y x , g x , y x = 0

∂ f ∂ y x ⋅ ∂ y x ∂ x + ∂ f ∂ g x , y x ⋅ ∂ g x , y x ∂ x = 0

Substituindo:

∂ f ∂ y x ⋅ - y x 2 + ∂ f ∂ g x , y x ⋅ 1 x ∂ g ∂ x - g x 2 = 0

Passo 3

Agora derivando f em relação a y :

∂ ∂ y f y x , g x , y x = ∂ f ∂ y x ⋅ ∂ y x ∂ y + ∂ f ∂ g x , y x ⋅ ∂ g x , y x ∂ y

Calculando:

∂ y x ∂ y = 1 x

∂ g x , y x ∂ y = 1 x ∂ g ∂ y

Como f y x , g x , y x = 0 , então:

∂ ∂ y f y x , g x , y x = 0

∂ f ∂ y x ⋅ ∂ y x ∂ y + ∂ f ∂ g x , y x ⋅ ∂ g x , y x ∂ y = 0

Substituindo:

∂ f ∂ y x ⋅ 1 x + ∂ f ∂ g x , y x ⋅ 1 x ∂ g ∂ y = 0

Isolando:

∂ f ∂ y x = - ∂ f ∂ g x , y x ⋅ 1 x ∂ g ∂ y 1 x

∂ f ∂ y x = - ∂ f ∂ g x , y x ⋅ ∂ g ∂ y

Passo 4

Substituindo na equação do final do passo 2:

∂ f ∂ y x ⋅ - y x 2 + ∂ f ∂ g x , y x ⋅ 1 x ∂ g ∂ x - g x 2 = 0

- ∂ f ∂ g x , y x ⋅ ∂ g ∂ y ⋅ - y x 2 + ∂ f ∂ g x , y x ⋅ 1 x ∂ g ∂ x - g x 2 = 0

∂ f ∂ g x , y x ⋅ 1 x ∂ g ∂ x - g x 2 = ∂ f ∂ g x , y x ⋅ ∂ g ∂ y ⋅ - y x 2

Cortando a derivada feia:

1 x ∂ g ∂ x - g x 2 = - y x 2 ∂ g ∂ y

1 x ∂ g ∂ x + y x 2 ∂ g ∂ y = g x 2

Multiplicando tudo por x 2 :

x ∂ g ∂ x + y ∂ g ∂ y = g

Como queríamos demonstrar.

Resposta

Demonstração ao longo dos passos.

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