5] Encontrar as derivadas parciais correspondentes em cada caso

(3) f r , θ , ϕ = 4 r 2 s e n θ + 5 e r cos ⁡ θ s e n ϕ - 2 cos ⁡ ϕ ; ∂ θ f r , θ , ϕ

Passo 1

Iae! Como vai, meu querido? 😁 Bora aprender mais uma questão? 😉

Nesse problema, temos que obter a derivada parcial da função f r , θ , ϕ = 4 r 2 s e n θ + 5 e r cos ⁡ θ s e n ϕ - 2 cos ⁡ ϕ com relação a θ

E aí, tem alguma ideia do que podemos fazer? 🤔

Quando derivamos parcialmente uma função de várias variáveis, temos que fazer as variáveis que não é derivada se comportar como uma constante, assim derivamos normalmente como uma função de uma única variável.

Entendeu? Bora começar! 😁

Passo 2

Temos que derivar f em função de θ , ou seja, r e ϕ se comportam como constantes.

∂ θ f r , θ , ϕ = ∂ 4 r 2 s e n θ + 5 e r cos ⁡ θ s e n ϕ - 2 cos ⁡ ϕ ∂ θ

∂ θ f r , θ , ϕ = ∂ 4 r 2 s e n θ ∂ θ + ∂ 5 e r cos ⁡ θ s e n ϕ ∂ θ - ∂ 2 cos ⁡ ϕ ∂ ��

Vamos olhar para uma derivada de cada vez

Primeiro para 4 r 2 s e n θ ... como 4 r 2 é uma constante, podemos tirá-la da derivada

∂ 4 r 2 s e n θ ∂ θ = 4 r 2 ∂ s e n θ ∂ θ

Pelo teorema fundamental do cálculo, temos

∂ 4 r 2 s e n θ ∂ θ = 4 r 2 cos ⁡ θ

Agora para a derivada de 5 e r cos ⁡ θ s e n ϕ .

Tirando 5 e r s e n ϕ da derivada...

∂ 5 e r cos ⁡ θ s e n ϕ ∂ θ = 5 e r s e n ϕ ∂ cos ⁡ θ ∂ θ

Pelo teorema fundamental do cálculo novamente...

∂ 5 e r cos ⁡ θ s e n ϕ ∂ θ = 5 e r s e n ϕ - s e n θ

∂ 5 e r cos ⁡ θ s e n ϕ ∂ θ = - 5 e r s e n ϕ s e n θ

Está acompanhando até aqui? 👀

Passo 3

Por fim, vamos olhar para a derivada de 2 cos ⁡ ϕ

Como ϕ se comporta como uma constante e não temos θ para derivar, essa derivada se comporta como a derivada de uma constante, ou seja

∂ 2 cos ⁡ ϕ ∂ θ = 0

Substituindo os resultados em ∂ θ f r , θ , ϕ

∂ θ f r , θ , ϕ = ∂ 4 r 2 s e n θ ∂ θ + ∂ 5 e r cos ⁡ θ s e n ϕ ∂ θ - ∂ 2 cos ⁡ ϕ ∂ θ

∂ θ f r , θ , ϕ = 4 r 2 cos ⁡ θ + - 5 e r s e n ϕ s e n θ - 0

∂ θ f r , θ , ϕ = 4 r 2 cos ⁡ θ - 5 e r s e n ϕ s e n θ

Pegou o esquema? Responde Aí! 😁

Resposta

∂ θ f r , θ , ϕ = 4 r 2 cos ⁡ θ - 5 e r s e n ϕ s e n θ

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