Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

Passo 1

Bora lá calcular as derivadas parciais disso aí né..

w = a cos ⁡ c x + b sen ⁡ c x e - k c 2 t

Começando pela derivada parcial em relação a t .

Pela regra da cadeia:

∂ w ∂ t = a cos ⁡ c x + b sen ⁡ c x e - k e 2 t ∙ - k c 2 t

Arrumando só pra ficar bonitinho (ou menos feio):

∂ w ∂ t = - a cos ⁡ c x + b sen ⁡ c x k c 2 e - k c 2 t

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Passo 2

Agora derivada parcial em relação a x .

Usando a regra da cadeia:

∂ w ∂ x = - a s en ⁡ c x ∙ c + b cos ⁡ c x ∙ c e - k c 2 t

Agora arrumando:

∂ w ∂ x = - a sen ⁡ c x + b cos ⁡ c x c e - k c 2 t

Passo 3

Agora a gente deriva isso de novo em relação a x , porque a equação o enunciado envolve derivada segunda de x .

∂ w ∂ x = - a sen ⁡ c x + b cos ⁡ c x c e - k c 2 t

∂ 2 w ∂ x 2 = - a cos ⁡ c x ∙ c - b s en ⁡ c x ∙ c c e - k c 2 t

Arrumando:

∂ 2 w ∂ x 2 = - a cos ⁡ c x - b sen ⁡ c x c 2 e - k c 2 t

Passo 4

Agra, de acordo com o enunciado, devemos ter

∂ w ∂ t = k ∂ 2 w ∂ x 2

Substituindo as derivadas que a gente achou

- a cos ⁡ c x + b sen ⁡ c x k c 2 e - k c 2 t = k - a cos ⁡ c x - b sen ⁡ c x c 2 e - k c 2 t

Organizando melhor isso:

- a cos ⁡ c x + b sen ⁡ c x k c 2 e - k c 2 t = - a cos ⁡ c x + b sen ⁡ c x k c 2 e - k c 2 t

Vemos que os dois lados são iguais, ou seja, provamos que a expressão do enunciado é verdadeira.

Resposta

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