Utilizar a definição para encontrar cada uma das derivadas parciais:

b) f x ,   y ,   z ,   r ,   t = x y r - 3 z y t + 2 y r t + z r t ;             D 4 f x ,   y ,   z ,   r ,   t

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada parcial da função em relação r , usando a definição de derivada parcial pra funções de mais de duas variáveis. A gente sabe que essa derivada é em relação a r por causa da notação D 4 f x ,   y ,   z ,   r ,   t , que corresponde a derivada da quarta variável da função, e que é igual a ∂ ∂ r ( f x ,   y ,   z ,   r ,   t ).

Bom, para derivadas parciais, em relação a r , essa definição é dada pelo limite:

D 4 f x ,   y ,   z ,   r , t = lim h → 0 ⁡ f x ,   y ,   z ,   r + h ,   t - f ( x ,   y ,   z ,   r ,   t ) h

Assim, deixamos somente r variar, mantendo x ,   y ,   z e t fixos, onde h representa essa variação infinitesimal.

Então, o que precisamos fazer é substituir a função f ( x ,   y ,   z ,   r ,   t ) = x y r - 3 z y t + 2 y r t + z r t na definição e verificar o valor do limite quando h → 0 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo r = r + h na função, para obter f x ,   y ,   z ,   r + h ,   t :

f x ,   y ,   z ,   r + h ,   t = x y ( r + h ) - 3 z y t + 2 y ( r + h ) t + z ( r + h ) t

Aplicando a propriedade distributiva nos termos:

f x ,   y ,   z ,   r + h ,   t = x y r + x y h - 3 z y t + 2 y r t + 2 y h t + z r t + z h t

Passo 3

Substituindo o resultado do passo 2 no limite, juntamente com a função f ( x ,   y ,   z ,   r ,   t ) = x y r - 3 z y t + 2 y r t + z r t , temos:

D 4 f x ,   y ,   z ,   r , t = lim h → 0 ⁡ f x ,   y ,   z ,   r + h ,   t - f ( x ,   y ,   z ,   r ,   t ) h

D 4 f x ,   y ,   z ,   r , t = lim h → 0 ⁡ x y r + x y h - 3 z y t + 2 y r t + 2 y h t + z r t + z h t - x y r + 3 z y t - 2 y r t - z r t ) h

Simplificando os termos semelhantes:

D 4 f x ,   y ,   z ,   r , t = lim h → 0 ⁡ x y h + 2 y h t + z h t h

Colocando h em evidência:

D 4 f x ,   y ,   z ,   r , t = lim h → 0 ⁡ h ( x y + 2 y t + z t ) h

Simplificando:

D 4 f x ,   y ,   z ,   r , t = lim h → 0 ⁡ ( x y + 2 y t + z t )

Assim, quando h tende a zero, vamos obter o valor do limite:

D 4 f x ,   y ,   z ,   r , t = x y + 2 y t + z t

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D 4 f x ,   y ,   z ,   r , t = x y + 2 y t + z t

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