Uma condição suficiente para que a fórmula

∂ 3 f ∂ x 2 ∂ y p = ∂ 3 f ∂ x ∂ y ∂ x p

Ser verdadeira é que f seja ..... em p .

Passo 1

Oi, tudo bem? Questão teórica! Vamos resolver juntos?

O enunciado pediu uma condição para que essa derivada mista seja verdadeira! Então vamos olhar com mais carinho a igualdade dada:

∂ 3 f ∂ x 2 ∂ y p = ∂ 3 f ∂ x ∂ y ∂ x p

Agora vou arrumar um pouquinho, vou colocar pra “fora” uma derivada em x e deixar o resto dentro:

∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( p ) = ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( p )

Então na realidade, queremos primeiro que a parte dentro dos parênteses seja igual:

∂ 2 f ∂ x ∂ y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x

E isso acontece quando a função f é de classe C 2 em p , pois o teorema de Schwartz nos diz que:

Seja z = f ( x , y ) uma função definida em um conjunto aberto A. se f ( x , y ) for de classe C 2 em A , então:

∂ 2 f ∂ x ∂ y x , y = ∂ 2 f ∂ y ∂ x x , y

Para todo ( x , y ) em A .

Passo 2

Sendo assim, se f for C 2 em p , daí teremos os parênteses iguais, e portanto:

∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ x ∂ y ( p ) = ∂ ∂ x ∂ 2 f ∂ y ∂ x ( p )

Também vai ser igual!

Assim a resposta certa é: ... seja de classe C 2 em p

Resposta

seja de classe C 2 em p

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