Determine ∂ f ∂ x e ∂ f ∂ y para as seguintes funções de duas variáveis

a )   f x , y = x cos ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( y )

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema deu essa função aqui de duas variáveis:

f x , y = x cos ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( y )

E pediu para calcularmos as derivadas parciais

∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y

Mas como calcular isso?

Quando temos uma função de várias variáveis e queremos descobrir qual é a derivada dela em relação a uma, nós consideramos as outras como constantes! Isso mesmo!

Quando vamos calcular ∂ f / ∂ x , por exemplo, vamos considerar y como se fosse um número. Assim vamos derivar APENAS a variável x , conforme todas as regras que já conhecemos

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar calculando ∂ f / ∂ x . Nossa função é

f x , y = x cos ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( y )

E vamos considerar y como constante! Então a derivada não é aplicada nele! Só na parte em x :

∂ f ∂ x = cos ⁡ ( y )   1 . cos ⁡ x + x . - s e n x

Aí a derivada parcial é:

∂ f ∂ x = cos ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) - x s e n x cos ⁡ ( y )

E é isso! Beleza?

Agora vamos calcular a outra parcial? Bora lá!

Passo 3

Agora vamos considerar x constante! A função é:

f x , y = x cos ⁡ ( x ) c o s ⁡ ( y )

Derivando temos:

∂ f ∂ y = x cos ⁡ ( x ) .   - s e n y = - x cos ⁡ x s e n ( y )

E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

∂ f ∂ y = - x cos ⁡ x s e n ( y )

∂ f ∂ x = cos ⁡ ( x ) cos ⁡ ( y ) - x s e n x cos ⁡ ( y )

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