Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais e depois a gente substituiu todos os valores e faz a interpretação.

Primeiro derivada parcial em relação a t .

I x , t = I 0 e - k x sen 3 ⁡ π t D

∂ I ∂ t = I 0 e - k x 3 sen 2 ⁡ π t D cos ⁡ π t D π D  

∂ I ∂ t = 3 I 0 π e - k x D sen 2 ⁡ π t D cos ⁡ π t D

Repara que a gente teve que usar a regra da cadeia duas vezes!!

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Passo 2

Agora derivada parcial em relação a x .

I x , t = I 0 e - k x sen 3 ⁡ π t D

∂ I ∂ x = I 0 e - k x ∙ - k sen 3 ⁡ π t D  

∂ I ∂ x = - k I 0 e - k x sen 3 ⁡ π t D

Passo 3

Agora vamos substituir os valores dados pela questão:

I 0 = 1000

D = 12

k = 0,1

t = 6

x = 5

A derivada parcial em relação a t fica:

∂ I ∂ t = 3 . 1000 π e - 0,1.5 12 sen 2 ⁡ 6 π 12 cos ⁡ 6 π 12

∂ I ∂ t = 250 π e - 0,5 sen 2 ⁡ π 2 cos ⁡ π 2

∂ I ∂ t = 0

E a derivada parcial em relação a x fica:

∂ I ∂ x = - 0 , 1 . 1000 e - 0,1.5 sen 3 ⁡ 6 π 12

∂ I ∂ x = - 1 00 e - 0,5 sen 3 ⁡ π 2

∂ I ∂ x = - 100 e - 0,5

Passo 4

Agora partindo pra interpretação...

A gente já sabe que derivada representa a taxa de variação de uma função em relação a uma de suas variáveis.

Sendo assim, a derivada parcial em relação a t representa a taxa de variação da intensidade da luz solar em relação à variação do tempo após 6 horas do sol nascer, numa profundidade de 5 metros. E o fato de ela ser igual a zero significa que a intensidade da luz solar não varia nessa situação.

E, a derivada parcial em relação a x representa a taxa de variação da intensidade da luz do sol em relação a variação da profundidade do oceano, no nível de 5 metros, após 6 horas do amanhecer.

Resposta

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