3) Considere a superfície S dada pela equação x + 2 = x y 2 + z x . Se o vetor v = a , b , c é tangente a S em 1,1 , 2 , mostre que 2 a + 2 b + c = 0

Passo 1

Fala aí, querido!! Tudo certinho? Bora resolver esse probleminha? 😉

Nesse problema, temos uma superfície S dada por x + 2 = x y 2 + z x e um vetor v = a , b , c que é tangente a S no ponto 1,1 , 2 . Com isso, temos que provar que 2 a + 2 b + c = 0 .

E aí, tem ideia do que fazer? 👀

Primeiramente, podemos obter um vetor normal a uma superfície a partir das derivadas parciais dessa superfície

u = ∂ S ∂ x , ∂ S ∂ y , ∂ S ∂ z

Assim, como o vetor normal e o vetor tangente são perpendiculares, o produto interno entre u e v deve ser igual a 0 .

Sacou? Bora começar! 😁

Passo 2

Primeiro vamos passar todos os termos de S para um lado da igualdade

S :   x + 2 = x + 2 = x y 2 + z x

S :   x y 2 + z x - x - 2 = 0

Obtendo as derivadas parciais de S , temos

∂ S ∂ x = ∂ x y 2 + z x - x - 2 ∂ x

∂ S ∂ x = y 2 + z - 1

∂ S ∂ y = ∂ x y 2 + z x - x - 2 ∂ y

∂ S ∂ y = 2 x y

∂ S ∂ z = ∂ x y 2 + z x - x - 2 ∂ z

∂ S ∂ z = x

Substituindo em u

u = ∂ S ∂ x , ∂ S ∂ y , ∂ S ∂ z

u = y 2 + z - 1,2 x y , x

Tranquilo até aqui? 😎

Passo 3

Aplicando o ponto 1,1 , 2 em u , temos

u = 1 2 + 2 - 1,2 1 1 , 1

u = 2,2 , 1

E por fim, aplicando o produto interno entre u e v , temos

u · v = 0

2,2 , 1 · a , b , c = 0

2 a + 2 b + c = 0

Assim, provamos que a equação do enunciado é válida!

Sacou como faz? Responde Aí! 😉

Resposta

2 a + 2 b + c = 0

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