Utilizar a definição para encontrar cada uma das derivadas parciais:

a) f x ,   y ,   z = x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z ;           �� D 2 f x ,   y ,   z

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada parcial da função em relação y , usando a definição de derivada parcial pra funções de mais de duas variáveis. A gente sabe que essa derivada é em relação a y por causa da notação D 2 f x ,   y ,   z , que corresponde a derivada da segunda variável da função, e que é igual a ∂ ∂ y ( f x ,   y ,   z ).

Bom, para derivadas parciais, em relação a y , essa definição é dada pelo limite:

D 2 f x ,   y ,   z = lim h → 0 ⁡ f x ,   y + h ,   z - f ( x ,   y ,   z ) h

Assim, deixamos somente y variar, mantendo x e z fixos, onde h representa essa variação infinitesimal.

Então, o que precisamos fazer é substituir a função f x ,   y ,   z = x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z na definição e verificar o valor do limite quando h → 0 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo y = y + h na função, para obter f x ,   y + h ,   z :

f x ,   y + h ,   z = x 2 ( y + h ) - 3 x y + h 2 + 2 ( y + h ) z

Abrindo o produto notável:

f x ,   y + h ,   z = x 2 ( y + h ) - 3 x ( y 2 + 2 y h + h 2 ) + 2 ( y + h ) z

Aplicando a propriedade distributiva nos termos:

f x ,   y + h ,   z = x 2 y + x 2 h - 3 x y 2 - 6 x y h - 3 x h 2 + 2 y z + 2 h z

Passo 3

Substituindo o resultado do passo 2 no limite, juntamente com a função f x ,   y ,   z = x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z , temos:

D 2 f x ,   y ,   z = lim h → 0 ⁡ f x ,   y + h ,   z - f ( x ,   y ,   z ) h

D 2 f x ,   y ,   z = lim h → 0 ⁡ x 2 y + x 2 h - 3 x y 2 - 6 x y h - 3 x h 2 + 2 y z + 2 h z - ( x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z ) h

Simplificando os termos semelhantes:

D 2 f x ,   y ,   z = lim h → 0 ⁡ x 2 h - 6 x y h - 3 x h 2 + 2 h z h

Colocando h em evidência:

D 2 f x ,   y ,   z = lim h → 0 ⁡ h ( x 2 - 6 x y - 3 x h + 2 z ) h

Simplificando:

D 2 f x ,   y ,   z = lim h → 0 ⁡ ( x 2 - 6 x y - 3 x h + 2 z )

Assim, quando h tende a zero, vamos obter o valor do limite:

D 2 f x ,   y ,   z = x 2 - 6 x y + 2 z

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D 2 f x ,   y ,   z = x 2 - 6 x y + 2 z

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