11 - Numa circunferência de raio R , traçam-se duas cordas paralelas, uma acima e outra abaixo do centro, e constrói-se um trapézio isósceles. Determine as distâncias das duas cordas ao centro para que a área do trapézio seja máxima.

Passo 1

Iae, como vai? Essa questão está um pouco complicada? Fique tranquilo que vamos tentar te ajudar. 😎👍

Nessa questão temos uma circunferência de raio R e temos duas cordas pra passar uma abaixo e outra a cima do centro da circunferência. Ligando os dois pontos de cada lado onde a corda se encontra com a circunferência, vamos ter um trapézio, veja só

A ideia é calcular os valores das distancias das cordas até o centro em que a área do trapézio seja a máxima, ou seja, vamos calcular os valores de x e y .

Minha nossa!! Como vamos fazer isso?? 🤔🤔

Relaxa, vamos encontrar a função que descreve a área em função de x e y , veja só!

Passo 2

Com base na imagem, podemos definir dois triângulo-retângulos no trapézio

R 2 = x 2 + L 2 R 2 = y 2 + m 2

Vamos isolar m e L em um lado da igualdade para ver o que vamos obter

L = R 2 - x 2 m = R 2 - y 2

Lembra como é a fórmula de área do trapézio?

A = B m a i o r + b m e n o r h 2

O que é a base maior? 2 m , não é?

E a base menor? 2 L , certo?

E a altura h ? x + y , ok?

Vamos substituir esses valores na formula da área

A = 2 m + 2 L x + y 2

A = m + L x + y

Acabamos de encontrar L e m , não é? Vamos substituir na equação de A .

A = R 2 - y 2 + R 2 - x 2 x + y

Como calculamos o maior valor para uma função? Derivamos e igualamos a 0 para encontrar os pontos críticos! Isso aí!

Passo 3

Nesse caso, vamos derivar aplicando a regra do produto e a regra da cadeia, olhe só.

Temos a multiplicação de duas funções, consegue ver?

A = R 2 - y 2 + R 2 - x 2 · x + y

Então a derivada de A é dada pela derivada da primeira · a segunda + a primeira · a derivada da segunda, ou seja

A ' = R 2 - y 2 + R 2 - x 2 ' · x + y + R 2 - y 2 + R 2 - x 2 · x + y '

Mas perceba que na derivada da primeira, vamos usar a regra da cadeia pois temos uma função composta. Com isso a regra da cadeia nos diz que a derivada de uma função composta é dada pela derivada de dentro · derivada de fora. Entendeu? Vai ficar claro na prática.

Primeiro vamos derivar com relação a x .

∂ A ∂ x = ∂ R 2 - y 2 + R 2 - x 2 ∂ x · x + y + R 2 - y 2 + R 2 - x 2 · ∂ x + y ∂ x

Pela regra da cadeia na derivada de fora, a função de dentro é substituída por uma constante, veja só.

f g x ' = g ' x · f ' g x ,     g x → u

A derivada de R 2 - y 2 é igual a 0 então podemos desconsiderar quando derivamos em x .

∂ R 2 - y 2 + R 2 - x 2 ∂ x = ∂ R 2 - x 2 ∂ x · ∂ u ∂ u

Substituindo em ∂ A ∂ x

∂ A ∂ x = ∂ R 2 - x 2 ∂ x · ∂ u ∂ u · x + y + R 2 - y 2 + R 2 - x 2 · ∂ x + y ∂ x

Todas as derivadas podem ser obtidas por derivada de polinômios, onde multiplicamos a variável pela potência e subtraímos 1 do expoente.

Tranquilo até aqui? 👀

Passo 4

Vamos calcular essas derivadas

∂ R 2 - x 2 ∂ x = - 2 x 2 - 1 = - 2 x

∂ u ∂ u = ∂ u 1 2 ∂ u = 1 2 u 1 2 - 1 = 1 2 u 1 2

Substituindo u por g x de volta, temos

1 2 u 1 2 = 1 2 R 2 - x 2 1 2 = 1 2 R 2 - x 2

∂ x + y ∂ x = x 1 - 1 = 1

Substituindo esses resultados, temos

∂ A ∂ x = - 2 x · 1 2 R 2 - x 2 · x + y + R 2 - y 2 + R 2 - x 2 · 1

Simplificando o resultado, temos

∂ A ∂ x = - x R 2 - x 2 x + y + R 2 - y 2 + R 2 - x 2

Pelo mesmo método, vamos obter a derivada de A com relação a y

∂ A ∂ y = ∂ R 2 - y 2 + R 2 - x 2 ∂ y · x + y + R 2 - y 2 + R 2 - x 2 · ∂ x + y ∂ y

Podemos ver que a aplicação da regra da cadeia na primeira derivada é muito parecida, logo

∂ A ∂ y = ∂ R 2 - y 2 ∂ y · ∂ u ∂ u · x + y + R 2 - y 2 + R 2 - x 2 · ∂ x + y ∂ y

Bora resolver essas derivadas? 😁

Passo 5

Pelo método de derivação de polinômios e pelo que já calculamos anteriormente no caso de ∂ u ∂ u , temos

∂ R 2 - y 2 ∂ y = - 2 y 2 - 1 = - 2 y

∂ u ∂ u = 1 2 u 1 2 = 1 2 R 2 - y 2

∂ x + y ∂ y = y 1 - 1 = 1

Substituindo esses resultados na nossa derivada, temos

∂ A ∂ y = - 2 y · 1 2 R 2 - y 2 · x + y + R 2 - y 2 + R 2 - x 2 · 1

∂ A ∂ y = - y R 2 - y 2 x + y + R 2 - y 2 + R 2 - x 2

Igualando ∂ A ∂ y e ∂ A ∂ x a 0 , temos um sistema de equações dadas por

- x R 2 - x 2 x + y + R 2 - y 2 + R 2 - x 2 = 0 - 2 y 2 R 2 - y 2 x + y + R 2 - y 2 + R 2 - x 2 = 0

Podemos afirmar que

x R 2 - x 2 x + y = R 2 - y 2 + R 2 - x 2 y R 2 - y 2 x + y = R 2 - y 2 + R 2 - x 2

Se essa igualdade é verdadeira, podemos dizer que

x R 2 - x 2 x + y = y R 2 - y 2 x + y

Simplificando

x R 2 - x 2 = y R 2 - y 2

Interessante, não é?

Passo 6

A primeira relação que podemos fazer é que x = y , veja como as duas frações são idênticas, se diferenciando apenas por x e y . Se manipularmos uma pouco mais essa equação, podemos provar isso, mas no caso, a visualização é suficiente.

Vamos isolar R 2 - y 2

R 2 - y 2 = y R 2 - x 2 x

Com isso, vamos substituir ∂ A ∂ x = 0

- x R 2 - x 2 x + y + y R 2 - x 2 x + R 2 - x 2 = 0

Manipulando essa equação, vamos simplificar o resultado

- x ² x + y x R 2 - x 2 + y R 2 - x 2 x R 2 - x 2 + x R 2 - x 2 x R 2 - x 2 = 0

- x 2 x + y + y R 2 - x 2 + x R 2 - x 2 x R 2 - x 2 = 0

- x 2 x + y + x + y R 2 - x 2 x R 2 - x 2 = 0

Com isso, obrigatoriamente o numerador deve ser igual a 0

- x 2 x + y + x + y R 2 - x 2 = 0

E também se x = y , podemos dizer que

- x 2 x + x + x + x R 2 - x 2 = 0

Vamos desenvolver essa equação.

Passo 7

veja só a mágica que podemos fazer agora!

- x 2 2 x + 2 x R 2 - x 2 = 0

- 2 x 3 + 2 x R 2 - 2 x 3 = 0

- 4 x 3 + 2 x R 2 = 0

Vamos colocar x em evidência

x ( - 4 x 2 + 2 R 2 ) = 0

Como x não pode ser 0 , só podemos ter

- 4 x 2 + 2 R 2 = 0

Isolando x em um lado da igualdade, temos

4 x 2 = 2 R 2

x 2 = 2 R 2 4

Tirando a raiz dos dois lados, vamos obter

x = 2 R 2

Como vimos que x = y , logo

x = y = 2 R 2

E todos viveram felizes para sempre. Fim! 😉 Entendeu tudo? Responde Aí

Resposta

x = y = 2 R 2

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