Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

Calculo 2 – UNICAMP – P1

Considere a função

f x , y = x y x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

  1. A função é contínua em 0,0 ? Justifique sua resposta.
  2. Calcule as derivadas parciais ∂ f ∂ x 0,0 e ∂ f ∂ y 0,0
  3. Determine ∂ f ∂ x x , y e ∂ f ∂ y x , y para x , y ≠ 0,0 .
  4. f é diferenciável em 0,0 ? Justifique sua resposta.

Passo 1

Agora nós temos que calcular as derivadas parciais para qualquer ponto x , y tais que x , y ≠ 0,0 .

Para calcularmos eles, basta pegarmos a seguinte função

f x , y = x y x 2 + y 2

E a derivarmos parcialmente, pois este é o comportamento da nossa função f quando x , y ≠ 0,0 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora é só utilizarmos as regras de derivação que conhecemos bastante e aplicarmos para o caso de cada derivada. Ah! Muito cuidado heim! Quando calcularmos a derivada parcial em relação a x , consideramos y uma constante, e vice versa.

Sendo assim, se a gente pensa que y é uma constante e derivamos em relação a x , aplicando a regra do quociente, temos:

∂ f ∂ x x , y = x 2 + y 2 ∂ ∂ x x y - x y ∂ ∂ x x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 y - x y ⋅ 2 x x 2 + y 2 2 = y ⋅ y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

E se a gente faz o mesmo para a variável y , vamos obter:

∂ f ∂ y x , y = x 2 + y 2 ∂ ∂ y x y - x y ∂ ∂ y x 2 + y 2 x 2 + y 2 2 = x 2 + y 2 x - x y ⋅ 2 y x 2 + y 2 2 = x ⋅ x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

E assim finalizamos a nossa questão!

Resposta

As derivadas parciais para x , y ≠ 0,0 são:

∂ f ∂ x x , y = y ⋅ y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

∂ f ∂ y x , y = x ⋅ x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

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