Determine ∂ f ∂ x , ∂ f ∂ y e ∂ f ∂ z para as seguintes funções de três variáveis

a )   f x , y , z = x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas estou aqui para te ajudar! Vamos resolver juntos?

O problema deu essa função aqui de três variáveis:

f x , y , z = x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z

E pediu para calcularmos as derivadas parciais

∂ f ∂ x ,   ∂ f ∂ y , ∂ f ∂ z

Mas como calcular isso?

Quando temos uma função de várias variáveis e queremos descobrir qual é a derivada dela em relação a uma, nós consideramos as outras como constantes! Isso mesmo!

f / x , por exemplo, vamos considerar y e z como se fossem números, mas sem fazer qualquer conta com eles. Assim vamos derivar APENAS a variável x , conforme todas as regras que já conhecemos

Lembra que derivada de constante é zero!

Mas relaxa, vou fazer passo a passo com você!

Vamos começar?

Passo 2

Vamos começar calculando ∂ f / ∂ x . Nossa função é

f x , y , z = x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z

E vamos considerar y e z como constantes! Assim é como se fosse derivada de potência normal!

Então a derivada não é aplicada no y e no z! Só na parte em x :

∂ f ∂ x = 2 x y - 3 y 2

Aí a derivada parcial é:

∂ f ∂ x = 2 x y - 3 y 2

E é isso! Beleza?

Agora vamos calcular as outras parciais? Bora lá!

Passo 3

Agora vamos considerar x e z constantes!

A função é:

f x , y , z = x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z

Derivando temos:

∂ f ∂ y = x 2 - 6 x y + 2 z

Tranquilo até aqui?

Passo 4

Vamos calcular a última parcial? Para essa última vamos considerar x e y constantes!

Nossa função é

f x , y , z = x 2 y - 3 x y 2 + 2 y z

Agora derivando APENAS em z :

∂ f ∂ z = 2 y

Isso porque derivada de constante é zero!

E é isso pessoal! Espero ter ajudado!

Resposta

∂ f ∂ x = 2 x y - 3 y 2

∂ f ∂ y = x 2 - 6 x y + 2 z

∂ f ∂ z = 2 y

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