Expresse ∂ w ∂ u e ∂ w ∂ v como funções de u e v ,

w = x y + y z + x z

Onde

x = u + v

y = u - v

z = u v

Por último avalie no ponto u , v = 1 2 , 1

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu essa função aqui

w = x y + y z + x z

E pediu as derivadas parciais

∂ w ∂ u       e     ∂ w ∂ v

E quem são esses u e v ?

w depende de x , y e z , mas essas variáveis por sua vez dependem de u e v através dessas relações aqui:

x = u + v

y = u - v

z = u v

Agora sim faz sentido calcular essas parciais! Precisamos calcular a parcial das variáveis x , y , z em relação a u e v (uma de cada vez) e depois a parcial de w em relação a x , y e z . E montar essa expressão aqui:

∂ w ∂ u = ∂ w ∂ x . ∂ x ∂ u + ∂ w ∂ y . ∂ y ∂ u + ∂ w ∂ z . ∂ z ∂ u

E

∂ w ∂ v = ∂ w ∂ x . ∂ x ∂ v + ∂ w ∂ y . ∂ y ∂ v + ∂ w ∂ z . ∂ z ∂ v

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Vamos calcular primeiro as parciais! Para facilitar nossa vida! Começando pela parcial de w com as variáveis x , y e z :

w = x y + y z + x z

Parcial em x :

∂ w ∂ x = y + z

Agora em y :

∂ w ∂ y = x + z

E em z :

∂ w ∂ z = y + x

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Agora vamos derivar parcialmente x , y , z em relação às variáveis u e v . Primeiro em u :

x = u + v

y = u - v

z = u v

∂ x ∂ u = 1 ; ∂ y ∂ u = 1 ; ∂ z ∂ u = v

E agora em v :

∂ x ∂ v = 1 ; ∂ y ∂ v = - 1 ; ∂ z ∂ v = u

Beleza?

Vamos calcular as parciais de w agora?

Passo 4

Voltando para a parcial de w em u :

∂ w ∂ u = ∂ w ∂ x . ∂ x ∂ u + ∂ w ∂ y . ∂ y ∂ u + ∂ w ∂ z . ∂ z ∂ u

E vamos resgatar os resultados das parciais que calculamos nos passos anteriores:

∂ x ∂ u = 1 ; ∂ y ∂ u = 1 ; ∂ z ∂ u = v

E

∂ w ∂ x = y + z

∂ w ∂ y = x + z

∂ w ∂ z = y + x

Agora vamos substituir!

∂ w ∂ u = y + z . 1 + x + z . 1 + x + y . 1

E agora substituir as expressões correspondentes de x , y , z em u , v :

∂ w ∂ u = u - v + u v + u + v + u v + u - v + u + v . v

∂ w ∂ u = 2 u + 4 u v

Passo 5

Agora vamos calcular a parcial de w em relação a v :

∂ w ∂ v = ∂ w ∂ x . ∂ x ∂ v + ∂ w ∂ y . ∂ y ∂ v + ∂ w ∂ z . ∂ z ∂ v

Usando os resultados dos passos 2 e 3:

∂ w ∂ x = y + z

∂ w ∂ y = x + z

∂ w ∂ z = y + x

E também

∂ x ∂ v = 1 ; ∂ y ∂ v = - 1 ; ∂ z ∂ v = u

Agora é só substituir:

∂ w ∂ v = y + z . 1 + x + z . - 1 + x + z . u

∂ w ∂ v = u - v + u v + u + v + u v - 1 + u - v + u + v . u

∂ w ∂ v = - 2 v + 2 u 2

Beleza?

Passo 6

Acabamos? Ainda não! O problema pede para que no final ainda avaliemos as derivadas parciais no ponto u , v = 1 2 , 1 . Então usando as expressões para as parciais, basta substituirmos os valores!

As parciais são:

∂ w ∂ u = 2 u + 4 u v

∂ w ∂ v = - 2 v + 2 u 2

Agora vamos substituir:

∂ w ∂ u = 2 . 1 2 + 4 . 1 2 = 3

∂ w ∂ v = - 2.1 + 2 . 1 2 2 = - 3 2

Ufa! Agora sim! Terminamos! Espero ter ajudado!

Até próxima!

Resposta

∂ w ∂ u = 2 u + 4 u v

∂ w ∂ v = - 2 v + 2 u 2

∂ w ∂ u = 3

∂ w ∂ v = - 3 2

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