Considere a função f : R 2 → R dada por

f x , y = x y x 2 + y 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

  1. Calcule ∂ f / ∂ x e   ∂ f / ∂ y
  2. f é diferenciável? Justifique.

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais em x e em y da nossa função.

Temos que tomar muito cuidado neste caso para não fazermos pela metade a questão!

Como assim pela metade? Começaremos derivando para os pontos x , y ≠ 0,0 . Para eles, basta pegarmos a seguinte função

f x , y = x y x 2 + y 2

E calcularmos as derivadas parciais. Se a gente pensa que y é uma constante e derivamos em relação a x , temos:

∂ f ∂ x = y ⋅ x 2 + y 2 - x y ⋅ 2 x x 2 + y 2 2 = y ⋅ y 2 - x 2 x 2 + y 2 2

Agora, se a gente considera que x é uma constante e deriva em relação a y , temos:

∂ f ∂ y = x ⋅ x 2 + y 2 - x y ⋅ 2 y x 2 + y 2 2 = x ⋅ x 2 - y 2 x 2 + y 2 2

Passo 2

Mas percebam que só derivamos para os pontos x , y ≠ 0,0 . Não sabemos quais as derivadas parciais quando x , y = 0,0 . É por isso que deixamos claro que não é para fazermos apenas a metade da questão!

E como temos que fazer neste caso? Precisamos aplicar a derivada pela definição. Portanto,

f x 0,0 = lim h → 0 ⁡ f 0 + h , 0 - f 0,0 h = lim h → 0 ⁡ h ⋅ 0 h 2 + 0 2 - 0 h = lim h → 0 ⁡ 0 h = 0

f y 0,0 = lim h → 0 ⁡ f 0,0 + h - f 0,0 h = lim h → 0 ⁡ 0 ⋅ h 0 2 + h 2 - 0 h = lim h → 0 ⁡ 0 h = 0

Portanto, as derivadas parciais da nossa função são:

f x x , y = ∂ f ∂ x = y ⋅ y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

E

f y x , y = ∂ f ∂ y = x ⋅ x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

Resposta

As derivadas parciais da nossa função são:

f x x , y = ∂ f ∂ x = y ⋅ y 2 - x 2 x 2 + y 2 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

E

f y x , y = ∂ f ∂ y = x ⋅ x 2 - y 2 x 2 + y 2 2 ,   x , y ≠ 0,0 0 ,   x , y = 0,0

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1