A equação de um cone é x 2 + 9 z 2 - 6 x z + y z - y = 0 , então o vértice é o ponto?

  1. ( 0,0 , 0 )
  2. - 1 2 , 1 2 , 1 3
  3. ( 3,9 , 0 )
  4. 3,0 , 1
  5. 1,8 , - 1

Passo 1

Oi, tudo bem? Essa questão parece complicada, mas vou ajudar e resolver passo a passo com você! Vamos primeiro jogar essa equação em um software para visualizar melhor esse cone:

Um cone é tipo uma casquinha de sorvete! Estamos acostumados com cones em que o eixo de simetria que passa por dentro dessa casquinha é sempre paralelo a algum eixo

No nosso caso isso não acontece! E eu sei disso pela existência daqueles termos mistos:

x 2 + 9 z 2 - 6 x z ⏝ + y z ⏝ - y = 0

Quando esses termos aparecem, nossa superfície tem a mesma cara que já conhecemos, mas não é paralela aos eixos cartesianos.

Mas isso muda alguma coisa? Não, só queria explicar isso para você não ficar preocupado com aqueles termos estranhos!

No desenho eu destaquei um ponto só: A

E é esse ponto que queremos! Esse é o vértice do cone! Mas como achar esse ponto?

Dá uma olhadinha de novo no desenho e percebe que esse ponto A está bem no ‘bico’ do cone? Então, se o vértice é no bico, ele é um ponto de extremo dessa superfície!

E como achamos os extremos de uma superfície mesmo? DERIVANDO E IGUALANDO A ZERO!

Claro, aqui vamos derivar parcialmente em cada componente (x,y e z) e igualar cada derivada parcial a zero! Com isso vamos ter três equações e três incógnitas! SISTEMA!

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

Para começar, vamos chamar nossa superfície de f ( x , y , z ) :

f x , y , z = x 2 + 9 z 2 - 6 x z + y z - y

Beleza?

E agora derivar parcialmente em relação a cada uma das variáveis (e já igualar a zero).

Primeiro em x :

∂ f ∂ x = 2 x - 6 z = 0

O que nos leva a:

2 x = 6 z ∴ x = 3 z

Beleza? Agora fazer a mesma coisa em y :

∂ f ∂ y = z - 1 = 0 ∴ z = 1

Oba! Já encontramos uma das coordenadas do vértice! Uma não, duas! Porque podemos substituir esse valor de z a expressão para x ali em cima:

x = 3 z = 3 1 = 3

x = 3

Tranquilo até aqui?

Agora vamos fazer a derivada em z e igualar a zero:

∂ f ∂ z = 18 z - 6 x + y = 0

E com os valores de x e z que acabamos de encontrar, podemos substituir ali em cima e achar y :

18 1 - 6 - 3 + y = 0

y = 0

Passo 3

Vamos resgatar os valores encontrados para as coordenadas:

x = 3

y = 0

x = 1

Esse é o vértice do nosso cone! A = ( 3,0 , 1 ) , e nosso esboço pode ser preenchido:

Sendo assim, a resposta correta é (c). E é isso! Espero ter ajudado!

Resposta

( c )

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