Utilizar a definição para encontrar as derivadas parciais:

d) f x ,   y = x + 2 y x 2 - y ;             D 2 f x ,   y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada parcial da função em relação y usando a definição de derivada parcial. A gente sabe que essa derivada é em relação a y por causa da notação D 2 f x ,   y , que corresponde a derivada da segunda variável da função, e que é igual a ∂ ∂ y ( f x ,   y ).

Bom, para derivadas parciais, em relação a y , essa definição é dada pelo limite:

D 2 f x ,   y = lim h → 0 ⁡ f x ,   y + h - f ( x ,   y ) h

Assim, deixamos somente y variar, mantendo x fixo, e h representa essa variação infinitesimal.

Então, o que precisamos fazer é substituir a função f x ,   y = x + 2 y x 2 - y na definição e verificar o valor do limite quando h → 0 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo y = y + h na função, para obter f x ,   y + h :

f x ,   y + h = x + 2 ( y + h ) x 2 - ( y + h )

Aplicando a propriedade distributiva nos termos:

f x ,   y + h = x + 2 y + 2 h x 2 - y - h

Passo 3

Substituindo o resultado do passo 2 no limite, juntamente com a função f x ,   y = x + 2 y x 2 - y , temos:

D 2 f x ,   y = lim h → 0 ⁡ f x ,   y + h - f ( x ,   y ) h

D 2 f x ,   y = lim h → 0 ⁡ x + 2 y + 2 h x 2 - y - h - x + 2 y x 2 - y h

Tirando o M.M.C no numerador:

D 2 f x ,   y = l i m h → 0 ( x + 2 y + 2 h ) x 2 - y - ( x + 2 y ) ( x 2 - y - h ) ( x 2 - y - h ) ( x 2 - y ) h

Aplicando a propriedade distributiva:

D 2 f x ,   y = l i m h → 0 x 3 + 2 x 2 y + 2 x 2 h - x y - 2 y 2 - 2 y h - x 3 - 2 x 2 y + x y + 2 y 2 + x h + 2 y h ( x 2 - y - h ) ( x 2 - y ) h

Simplificando os termos semelhantes:

D 2 f x ,   y = l i m h → 0 2 x 2 h + x h ( x 2 - y - h ) ( x 2 - y ) h

Fazendo a divisão de frações e colocando h em evidência:

D 2 f x ,   y = l i m h → 0 2 x 2 h + x h ( x 2 - y - h ) ( x 2 - y ) ∙ 1 h

D 2 f x ,   y = l i m h → 0 h ( 2 x 2 + x ) h ( x 2 - y - h ) ( x 2 - y )

Simplificando:

D 2 f x ,   y = l i m h → 0 2 x 2 + x ( x 2 - y - h ) ( x 2 - y )

Abrindo esse produto no denominador, temos:

D 2 f x ,   y = l i m h → 0 2 x 2 + x x 4 - x 2 y - x 2 y + y 2 - x 2 h + y h

D 2 f x ,   y = l i m h → 0 2 x 2 + x x 4 - 2 x 2 y + y 2 - x 2 h + y h

Assim, quando h tende a zero, vamos obter o valor do limite:

D 2 f x ,   y = 2 x 2 + x x 4 - 2 x 2 y + y 2

O denominador também pode ser escrito como um produto notável:

D 2 f x ,   y = 2 x 2 + x x 2 - y 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D 2 f x ,   y = 2 x 2 + x x 2 - y 2

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