Seja f   ( x ,   y )   =   x e y   +   s e n ( 2 x y ) uma função de duas variáveis.

  1. Determine f x   ,   f y   ,   f x y   ,   f y x   ,   f x x   ,   f y y .

Passo 1

Eaew, belezinha?

A questão define para a gente uma função f(x,y) de duas variáveis x e y e em seguida nos pede para calcular derivadas parciais da função de primeira e de segunda ordem. Bem, para derivar uma função de duas variáveis em relação a uma delas, precisamos considerar a outra como constante durante o processo. Então, vamos começar calculando a derivada parcial de f(x,y) em relação à x, considerando y como constante:

f x = ∂ ∂ x f ( x , y ) = ∂ ∂ x x e y + ∂ ∂ x s e n ( 2 x y ) = e y + 2 y   c o s ( 2 x y )

Agora, para encontrar a derivada parcial de f(x,y) em relação à y, fazemos a mesma coisa, mas dessa vez considerando x como constante. Assim, como a derivada da exponencial é ela mesma, obtemos:

f y = ∂ ∂ y f ( x , y ) = ∂ ∂ y x e y + ∂ ∂ y s e n ( 2 x y ) = x e y + 2 x   c o s ( 2 x y )

Agora que temos as derivadas parciais de primeira ordem, podemos prosseguir para calcular as de segunda ordem f x y   = ∂ ² f ∂ y ∂ x ,   f y x = ∂ ² f ∂ x ∂ y ,   f x x = ∂ ² f ∂ x ² ,   f y y = ∂ ² f ∂ y ² derivando as expressões acima mais uma vez. Então vamos lá derivar!

Passo 2

Vamos prosseguir então com f x x . Para obter essa derivada parcial de segunda ordem, só precisamos derivar mais uma vez em relação à x a expressão obtida para f x . Fazendo isso obtemos:

∂ ² f ∂ x ² = ∂ ∂ x ( e y + 2 y   c o s ( 2 x y ) ) = - 4 y ² s e n ( 2 x y )

Semelhantemente, para calcularmos f y y precisamos derivar mais uma vez, em relação à y, a expressão obtida para f y . Fazendo isso, obtemos:

∂ ² f ∂ y ² = ∂ ∂ y ( x e y + 2 x   c o s ( 2 x y ) ) = x e y - 4 x ²   s e n ( 2 x y )

Agora, só precisamos calcular as derivadas parciais cruzadas f x y ,   f y x . Então, bora lá!

Passo 3

Dessa vez, queremos derivadas de segunda ordem, mas que não são derivadas em relação à mesma variável. Comecemos com f y x . Para essa derivada de segunda ordem, primeiro derivamos a função em relação à y e em seguida derivamos em relação à x. Será que a ordem de derivação altera o resultado? A gente já vai descobrir! Vamos derivar f y em relação à x. Considerando y constante, e utilizando a regra do produto, obtemos:

∂ ² f ∂ x ∂ y = ∂ ∂ x f y = ∂ ∂ x x e y + 2 x   c o s ( 2 x y ) = e y + 2 c o s ( 2 x y ) + 4 x y   s e n ( 2 x y )

Excelente! Agora vamos calcular na ordem inversa: primeiro derivamos f(x,y) em relação a x e, em seguida em relação a y. Utilizando o resultado obtido para f x e, derivando-o em relação à y, e utilizando a regra do produto, obtemos:

∂ ² f ∂ y ∂ x = ∂ ∂ y f x = ∂ ∂ y e y + 2 y   c o s ( 2 x y ) = e y + 2 c o s ( 2 x y ) - 4 y x     s e n ( 2 x y )

Com isso, chegamos então a um resultado muito importante do cálculo de funções de duas variáveis: a operação de derivação parcial comuta! Ou seja, não importa se derivamos f(x,y) em relação à x primeiro e em seguida em relação à y ou se fazemos a ordem oposta: o resultado é o mesmo!

Resposta

f x = e y + 2 y   c o s ( 2 x y )

f y = x e y + 2 x   c o s ( 2 x y )

f x x = - 4 y ² s e n ( 2 x y )

f y y = x e y - 4 x ²   s e n ( 2 x y )

f x y = f y x = e y + 2 c o s ( 2 x y ) - 4 y x     s e n ( 2 x y )

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