Utilizar a definição para encontrar cada uma das derivadas parciais:

d) f r ,   s ,   t ,   u ,   v ,   w = 3 r 2 s t + s t 2 v - 2 t u v 2 - t v w + 3 u w 2 ;             D 5 f r ,   s ,   t ,   u ,   v ,   w

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada parcial da função em relação v , usando a definição de derivada parcial pra funções de mais de duas variáveis. A gente sabe que essa derivada é em relação a v por causa da notação D 5 f r ,   s ,   t ,   u ,   v ,   w , que corresponde a derivada da quinta variável da função, e que é igual a ∂ ∂ v ( f r ,   s ,   t ,   u ,   v ,   w ).

Bom, para derivadas parciais, em relação a v , essa definição é dada pelo limite:

D 5 f r ,   s ,   t ,   u ,   v ,   w = lim h → 0 ⁡ f r ,   s ,   t ,   u ,   v + h ,   w - f r ,   s ,   t ,   u ,   v ,   w h

Assim, deixamos somente v variar, mantendo r ,   s ,   t ,   u e w fixos, onde h representa essa variação infinitesimal.

Então, o que precisamos fazer é substituir a função f r ,   s ,   t ,   u ,   v ,   w = 3 r 2 s t + s t 2 v - 2 t u v 2 - t v w + 3 u w 2 na definição e verificar o valor do limite quando h → 0 .

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar substituindo v = v + h na função, para obter f r ,   s ,   t ,   u ,   v + h ,   w :

f r ,   s ,   t ,   u ,   v + h ,   w = 3 r 2 s t + s t 2 ( v + h ) - 2 t u v + h 2 - t ( v + h ) w + 3 u w 2

Abrindo o produto notável:

f r ,   s ,   t ,   u ,   v + h ,   w = 3 r 2 s t + s t 2 ( v + h ) - 2 t u ( v 2 + 2 v h + h 2 ) - t ( v + h ) w + 3 u w 2

Aplicando a propriedade distributiva nos termos:

f r ,   s ,   t ,   u ,   v + h ,   w = 3 r 2 s t + s t 2 v + s t 2 h - 2 t u v 2 - 4 t u v h - 2 t u h 2 - t v w - t h w + 3 u w 2

Passo 3

Substituindo o resultado do passo 2 no limite, juntamente com a função f r ,   s ,   t ,   u ,   v ,   w = 3 r 2 s t + s t 2 v - 2 t u v 2 - t v w + 3 u w 2 , temos:

D 5 f r ,   s ,   t ,   u ,   v ,   w = lim h → 0 ⁡ f r ,   s ,   t ,   u ,   v + h ,   w - f r ,   s ,   t ,   u ,   v ,   w h

= lim h → 0 ⁡ 3 r 2 s t + s t 2 v + s t 2 h - 2 t u v 2 - 4 t u v h - 2 t u h 2 - t v w - t h w + 3 u w 2 h - ( 3 r 2 s t + s t 2 v - 2 t u v 2 - t v w + 3 u w 2 ) h

Simplificando os termos semelhantes:

D 5 f r ,   s ,   t ,   u ,   v ,   w = lim h → 0 ⁡ s t 2 h - 4 t u v h - 2 t u h 2 - t h w h

Colocando h em evidência:

D 5 f r ,   s ,   t ,   u ,   v ,   w = lim h → 0 ⁡ h ( s t 2 - 4 t u v - 2 t u h - t w ) h

Simplificando:

D 5 f r ,   s ,   t ,   u ,   v ,   w = lim h → 0 ⁡ ( s t 2 - 4 t u v - 2 t u h - t w )

Assim, quando h tende a zero, vamos obter o valor do limite:

D 5 f r ,   s ,   t ,   u ,   v ,   w = s t 2 - 4 t u v - t w

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

D 5 f r ,   s ,   t ,   u ,   v ,   w = s t 2 - 4 t u v - t w

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