Encontre as derivadas parciais, como se fossem derivadas ordinárias, considerando constantes todas menos uma das variáveis.

(1) f x ,   y = 4 y 3 + x 2 + y 2 ;

D 1 f ( x ,   y )

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular a derivada parcial da função em relação x , como se fossem derivadas ordinárias. Isso quer dizer que vamos variar apenas x e considerar as outras variáveis como constantes na derivação.

A gente sabe que essa derivada é em relação a x por causa da notação D 1 f ( x ,   y ) , que corresponde a derivada da primeira variável da função, e também pode ser escrita na forma ∂ ∂ x   f ( x ,   y ) .

Para a função f x ,   y = 4 y 3 + x 2 + y 2 , vamos precisar aplicar a Regra da Cadeia na derivação também. Derivando a função de fora aplicada na função de dentro e multiplicando pela derivada da função de dentro.

Vamos lá!

Passo 2

Vamos começar derivando f x ,   y = 4 y 3 + x 2 + y 2 em relação a x , considerando y constante e usando a regra da Cadeia na derivação da raiz:

∂ ∂ x   f x ,   y = ∂ ∂ x 4 y 3 + x 2 + y 2

∂ ∂ x   f x ,   y = ∂ ∂ x 4 y 3 + ∂ ∂ x x 2 + y 2

Como o primeiro termo não contém x , a derivada em relação a x é zero. No segundo termo, derivamos a raiz, usando a regra da potência ( x n ' = n x n - 1 ), e depois derivamos o que tá dentro da raiz apenas em relação a x :

∂ ∂ x   f x ,   y = 0 + 1 2 x 2 + y 2 ( 2 x )

Logo,

∂ ∂ x   f x ,   y = 2 x 2 x 2 + y 2

∂ ∂ x   f x ,   y = x x 2 + y 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ ∂ x   f x ,   y = x x 2 + y 2

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