Calcule as derivadas parciais de primeira ordem de:

(b) f x ,   y = arctan ⁡ x y

Passo 1

Fala, galera! Vamos resolver essa questão!

O enunciado pediu pra gente calcular as derivadas parciais de primeira ordem da função f ( x ,   y ) . Então, vamos calcular:

∂ f x ,   y ∂ x       e     ∂ f x ,   y ∂ y

Que são as derivadas parciais da função em relação a x e em relação a y , respectivamente.

Vamos lá!

Passo 2

Nossa função é dada por:

f x ,   y = arctan ⁡ x y

Então, derivando primeiro em relação a x :

∂ f x ,   y ∂ x = ∂ ∂ x arctan ⁡ x y

E usando a regra da cadeia, temos a derivada da função de fora aplicada na função de dentro, vezes a derivada da função de dentro:

∂ f x ,   y ∂ x = 1 x y 2 + 1 ∙ ∂ ∂ x x y

∂ f x ,   y ∂ x = 1 x 2 y 2 + 1 ∙ 1 y

Multiplicando os termos e simplificando:

∂ f x ,   y ∂ x = y x 2 + y 2

Passo 3

Agora vamos derivar da mesma forma em relação a y :

∂ f x ,   y ∂ y = ∂ ∂ y 2 x 4 - x y + 1 x y

Também aplicando a regra da cadeia, temos:

∂ f x ,   y ∂ y = 1 x y 2 + 1 ∙ ∂ ∂ y x y

∂ f x ,   y ∂ y = 1 x 2 y 2 + 1 ∙ - x y 2

Simplificando:

∂ f x ,   y ∂ y = - x x 2 + y 2

Valeu, galera! Até a próxima! 😉

Resposta

∂ f x ,   y ∂ x = y x 2 + y 2

∂ f x ,   y ∂ y = - x x 2 + y 2

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1