Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

George B. Thomas, Cálculo,Volume II,11º ed. São Paulo: Pearson Education do Brasil Ltda., 2009, pg. 317, exercício 22.

Calcule as derivadas parciais da função

f x , y = ∑ n = 0 ∞ x y n     ,     x y < 1

Passo 1

Essa é uma série geométrica

∑ n = 0 ∞ r n

Que converge quando r < 1 para

∑ n = 0 ∞ r n = f r = 1 1 - r

Sendo assim,

∑ n = 0 ∞ x y n = f x , y = 1 1 - x y

Pois   x y < 1

E, portanto, agora é só calcular as derivadas parciais normalmente, como estamos acostumados!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Calculando ∂ f ∂ x :

f x , y = 1 - x y - 1

∂ f ∂ x = - 1 - x y - 2 . ( - y )

∂ f ∂ x = y 1 - x y 2

Passo 3

Calculando ∂ f ∂ y :

f x , y = 1 - x y - 1

∂ f ∂ y = = - 1 - x y - 2 . ( - x )

∂ f ∂ y = x 1 - x y 2

Resposta

∂ f ∂ x = y 1 - x y 2

∂ f ∂ y = x 1 - x y 2

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