Considere a equação F x , y = c o s   ( x - 8 y )   - x e 4 y = 0 que define implicitamente x em função de y . Usando a fórmula d x d y = - F x F y , temos:

  1. d x d y = s e n x - y   +   e 4 y 8   s e n x - 8 y   - x e 4 y  
  2. d x d y = s e n x - 8 y   +   e 4 y 8   s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y
  3. d x d y = 8   s e n x - y   +   e 4 y s e n x - 8 y   - 8 x e 4 y
  4. d x d y = s e n x - y   +   e 4 y s e n x - y   - x e 4 y
  5. d x d y = s e n x - 8 y   +   e 4 y 8   s e n x - 8 y   - x e 4 y

Passo 1

O enunciado assusta um pouco falando de relação implícita entre x e y , mas na verdade, ele só quer que a gente use a fórmula para d x d y que ele dá.

Então o que a gente precisa fazer é calcular as derivadas parciais de F ( x , y ) e substituir nessa fórmula.

Passo 2

Temos que:

F x , y = c o s   x - 8 y   - x e 4 y

No primeiro termo temos uma função composta (usamos a regra da cadeia) de x e no segundo, um produto entre x e uma constante. Então a derivada fica:

F x = - s e n x - 8 y   - e 4 y

Passo 3

Para y   como variável, temos uma função composta no primeiro termo e outra função composta no segundo termo. Então ficamos com:

F y = - 8 - s e n x - 8 y   - x 4 e 4 y

F y = 8 s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y

Passo 4

Usando a fórmula do enunciado:

d x d y = - F x F y = - - s e n x - 8 y   - e 4 y 8   s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y   =   s e n x - 8 y   + e 4 y 8   s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y

Que é a letra b.

Resposta

Letra b

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1