Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

UFRJ, Cálculo 2, P2 - 2019.1, Questão 5

Considere a equação F x , y = c o s   ( x - 8 y )   - x e 4 y = 0 que define implicitamente x em função de y . Usando a fórmula d x d y = - F x F y , temos:

  1. d x d y = s e n x - y   +   e 4 y 8   s e n x - 8 y   - x e 4 y  
  2. d x d y = s e n x - 8 y   +   e 4 y 8   s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y
  3. d x d y = 8   s e n x - y   +   e 4 y s e n x - 8 y   - 8 x e 4 y
  4. d x d y = s e n x - y   +   e 4 y s e n x - y   - x e 4 y
  5. d x d y = s e n x - 8 y   +   e 4 y 8   s e n x - 8 y   - x e 4 y

Passo 1

O enunciado assusta um pouco falando de relação implícita entre x e y , mas na verdade, ele só quer que a gente use a fórmula para d x d y que ele dá.

Então o que a gente precisa fazer é calcular as derivadas parciais de F ( x , y ) e substituir nessa fórmula.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Temos que:

F x , y = c o s   x - 8 y   - x e 4 y

No primeiro termo temos uma função composta (usamos a regra da cadeia) de x e no segundo, um produto entre x e uma constante. Então a derivada fica:

F x = - s e n x - 8 y   - e 4 y

Passo 3

Para y   como variável, temos uma função composta no primeiro termo e outra função composta no segundo termo. Então ficamos com:

F y = - 8 - s e n x - 8 y   - x 4 e 4 y

F y = s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y

Passo 4

Usando a fórmula do enunciado:

d x d y = - F x F y = - - s e n x - 8 y   - e 4 y 8   s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y   =   s e n x - 8 y   + e 4 y 8   s e n x - 8 y   - 4 x e 4 y

Que é a letra b.

Resposta

Letra b

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