Considere a função u x , y = f x 2 - y 2 , em que z = f t é uma função real de uma variável diferenciável. Verifique se vale a seguinte equação:

y δ u δ x + x δ u δ y = 0

Passo 1

Vamos lá, para ver se essa relação é válida, precisamos descobrir δ u δ x e δ u δ y , certo? Como nos foi dado u x , y , então é só derivar essa função u em relação a x e y :D

u x , y = f x 2 - y 2

Como pode ver, a função u é a função f com argumento x 2 - y 2 , e, assim, precisamos usar a regra da cadeia! Fazendo a derivada da função mais externa, no caso f , e multiplicando pela derivada parcial da função mais interna, no caso x 2 - y 2 , teremos,

Para a derivada em relação a x :

u x x , y = f ' x 2 - y 2 . 2 x

Para a derivada em relação a y :

u y x , y = f ' x 2 - y 2 . - 2 y

Passo 2

Agora que temos u x e u y , só colocar na fórmula que queremos averiguar!

y δ u δ x + x δ u δ y = 0

Colocando os valores que encontramos,

y . f ' x 2 - y 2 . 2 x + x . f ' x 2 - y 2 . - 2 y = 0

2 x y . f ' x 2 - y 2 - 2 x y . f ' x 2 - y 2 = 0

E essa expressão é verdadeira, pois os termos realmente se anulam :D Pronto, fechou!

Resposta

A relação é verdadeira

Exercícios de Livros Relacionados

Encontrar a inclinação da reta tangente à curva resultante da intersecção de z = f ( x , y ) com o plano x = x 0 no ponto P ( x 0 , y 0 ,z 0 ) .a) z = x 2 + y 2 - 1 ; P ( 1 ,- 1 ,1 )
Mostre que a função produção de Cobb-Douglas satisfaz P L , K 0 = C 1 K 0 L α resolvendo a equação diferencial d P d L = α P L
No estudo de penetração do congelamento descobriu-se que a temperatura T no instante t (medido em dias) a uma profundidade x (medida em pés) pode ser modelada pela função T ( x , t ) = T 0 + T 1 e - λ
80. A temperatura em um ponto x ,y de uma chapa de metal é dada por T x ,y = 60 / ( 1 + x 2 + y 2 ) , onde T é medido em ° C e x , y em metros. Determine a taxa de variação da temperatura no ponto 1 ,
Seja ϕ : R → R uma função diferenciável tal que ϕ ' 3 = 4 . Seja g x , y , z = ϕ x 2 + y 2 + z 2 . Calcule:a) ∂ g ∂ x 1,1 , 1 b) ∂ g ∂ y 1,1 , 1 c) ∂ g ∂ z 1,1 , 1