Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

PUCRIO, Cálculo 3 - MAT1163, G1 - 2012.2, Questão 1

Considere a função h x , y = f a x 2 + b y , onde f é uma função real de uma variável, diferenciável em todo R , sendo a e b constantes. Verifique que para todo x , y R 2 :

b δ h δ x   x , y - 2 a x   δ h δ y x , y = 0

Passo 1

Ihh... Essas questões que tem “verifique que” já bate um frio na barriga, por que você não tem nem a opção de errar em paz e dizer que “não, a equação não se verifica” XD Mas somos foda pra carai e vamos acertar essas derivadas, né?

Vamos lá, a função que nos deram foi:

h x , y = f a x 2 + b y

Isso significa que h é função de f que é função de x e y , show? Como x e y são as variáveis “mais primordiais” elas aparecem em h ainda que esta não seja função diretamente de x e y ;)

Para verificar a equação dada, precisamos descobrir, então, as derivadas de h em relação a x e y , certo? E, para isso, usaremos a regra da cadeia!

Para a derivada em relação a x , teremos:

h x x , y = f ' a x 2 + b y . 2 a x

Ou seja, a derivada da função mais externa, f , vezes a derivada da função mais interna, a x 2 + b y , em relação a x .

Da mesma forma, teremos para h y :

h y x , y = f ' a x 2 + b y . b

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Pronto! Agora que temos h x e h y , se tivermos eito tudo certo a relação vai valer :D

b δ h δ x   x , y - 2 a x   δ h δ y x , y = 0

Colocando os valores das derivadas, teremos:

b f ' a x 2 + b y . 2 a x - 2 a x   f ' a x 2 + b y . b = 0

2 a x b f ' a x 2 + b y - 2 a x b f ' a x 2 + b y = 0

Como os termos são opostos, então eles se anulam e, enfim, a relação é realmente válida!

Resposta

A relação é válida

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