Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

Dados os valores observados de uma quantidade z = f x , y em torno dos valores médios x m = 10 e y m = 70 :

  1. Estime as taxas de variação de z com x e de z com y em torno dos valores médios.
  2. Determine a aproximação linear de z em torno do ponto médio x , y = ( 10,70 )

Passo 1

a )

Queremos as derivadas parciais de f ( x , y ) no ponto de valores médios ( 10,70 ) , ok?!

Vamos começar pela taxa de variação em relação a x .

Para isso, fixamos o valor de y como uma constante, igual ao valor médio y m = 70 . Assim, ficamos com uma função que depende só de x :

z = f x , 70 = g ( x )

Então, só precisamos calcular a derivada g ' no ponto x = 10 e teremos a taxa de variação de z em relação a x . Assim, pela definição de derivada de uma variável, para x = 10 :

g ' 10 = lim k → 0 ⁡ g 10 + k - g 10 k = lim k → 0 ⁡ f 10 + k , 70 - f 10,70 k = f x 10,70

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Passo 2

Beleza, então agora é só substituir tudo e calcular esse limite. Mas, pera! A gente não tem a expressão de f , como vamos substituir então?

Bem, nesse caso, temos que fazer o k variar, por exemplo, fazendo k = ± 1 , para que possamos pegar os valores de f na tabela.

Depois, fazemos a média dos valores calculados quando fizemos k = 1 e k = - 1 para determinar a f x .

Parece confuso né? Mas olha só como é:

Fazendo primeiro k = 1 :

g ' 10 = lim k → 0 ⁡ f 10 + 1,70 - f 10,70 1 = lim k → 0 ⁡ f 11,70 - f 10,70 1 = 51 - 50 1 = 1

Agora k = - 1 :

g ' 10 = lim k → 0 ⁡ f 10 - 1,70 - f 10,70 - 1 = lim k → 0 ⁡ f 9,70 - f 10,70 - 1 = 49 - 50 - 1 = 1

Para achar f x ( 10,70 ) temos que fazer a média desses dois valores. Assim:

f x 10,70 = 1 + 1 2 = 1

Passo 3

Agora, para a taxa de variação em relação a y ,   fazemos a mesma coisa.

Considerando x constante e igual a x m = 10 , temos uma função que depende só de y :

z = f 10 , y = g ( y )

E então, para achar f y ( 10,70 ) , fazemos:

g ' 70 = lim k → 0 ⁡ g 70 + k - g 70 k = lim k → 0 ⁡ f 10,70 + k - f 10,70 k = f y 10,70

E, agora fazemos k = ± 5 , para poder pegar os valores na tabela e temos:

Para k = 5 :

g ' 70 = lim k → 0 ⁡ f 10,70 + 5 - f 10,70 k = lim k → 0 ⁡ f 10,75 - f 10,70 5 = 55 - 50 5 = 1

Para k = - 5

g ' 70 = lim k → 0 ⁡ f 10,70 - 5 - f 10,70 k = lim k → 0 ⁡ f 10,65 - f 10,70 - 5 = 45 - 50 - 5 = 1

Por fim, fazemos a média desses dois valores e temos que

f y 10,70 = 1 + 1 2 = 1

Passo 4

b )

Sabemos que

L x , y = f x 0 , y 0 + f x x - x 0 + f y y - y 0

Assim, para x 0 , y 0 = ( 10,70 ) , temos

L x , y = f 10,70 + f x x - 10 + f y y - 70

Usando os valores da tabela e os valores de f x e f y encontrados na letra a , temos

L x , y = 50 + 1 x - 10 + 1 y - 70

L x , y = x + y - 30

Resposta

  1. f x 10,70 = 1
  2. f y 10,70 = 1

  3. L x , y = x + y - 30

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