Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 3, Questão 8

Determine as derivadas parciais da função dada:

w = f r , s , v = 2 r + 3 s cos v

Passo 1

Nossa, temos uma função elevada a outra função, que loucura!

Mas relaxa, só vamos ter ‘problema’ quanto a isso, quando formos fazer a derivada parcial em relação a v . Fora isso, esse cos v é como se fosse uma constante, então vamos simplesmente derivar como sempre fazemos.

Vamos começar pela derivada parcial em relação a r .

Usando a regra da cadeia e considerando as outras variáveis como constantes, temos

w r = cos v 2 r + 3 s cos v - 1 . 2

w r = 2 cos v 2 r + 3 s cos v - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora fazemos a mesma coisa para a derivada parcial em relação a s .

Usando a regra da cadeia e considerando as outras variáveis como constantes, temos

w s = cos v 2 r + 3 s cos v - 1 . 3

w s = 3 cos v 2 r + 3 s cos v - 1

Show?!

Passo 3

Beleza, agora como diabos vamos derivar em relação a v se a função de v está no expoente?!

Para fazer essa derivada parcial, vamos usar a derivação logarítmica. Assim:

Aplicamos l n dos dois lados:

ln w = ln 2 r + 3 s cos v

Usamos as propriedades do l n :

ln w = cos v . ln ( 2 r + 3 s )

Derivamos os dois lados, usando a regra da cadeia e do produto:

( ln w ) ' = cos v . ln 2 r + 3 s '

1 w . w ' = cos v ' . ln 2 r + 3 s + ln 2 r + 3 s ' . cos v

w ' w = - sen v . ln 2 r + 3 s + cos v . 1 2 r + 3 s . 2 r + 3 s '

w ' = - sen v . ln 2 r + 3 s + cos v . 1 2 r + 3 s . 2 r + 3 s ' . w

Passo 4

Ok, chegamos a expressão quase pronta da derivada. Mas, como estamos derivando em relação a v , temos que considerar apenas as derivadas em relação a v . Assim:

w v = w . - sen v . ln 2 r + 3 s + cos v . 1 2 r + 3 s . 0

w v = 2 r + 3 s cos v . - sen v . ln 2 r + 3 s

w v = - sen v ln 2 r + 3 s 2 r + 3 s cos v

Resposta

w r = 2 cos v 2 r + 3 s cos v - 1

w s = 3 cos v 2 r + 3 s cos v - 1

w v = - sen v ln 2 r + 3 s 2 r + 3 s cos v

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas