Determine as derivadas parciais da função dada:

w = f r , s , v = 2 r + 3 s cos ⁡ v

Passo 1

Nossa, temos uma função elevada a outra função, que loucura!

Mas relaxa, só vamos ter ‘problema’ quanto a isso, quando formos fazer a derivada parcial em relação a v . Fora isso, esse cos ⁡ v é como se fosse uma constante, então vamos simplesmente derivar como sempre fazemos.

Vamos começar pela derivada parcial em relação a r .

Usando a regra da cadeia e considerando as outras variáveis como constantes, temos

w r = cos ⁡ v 2 r + 3 s cos ⁡ v - 1 . 2

w r = 2 cos ⁡ v 2 r + 3 s cos ⁡ v - 1

Passo 2

Agora fazemos a mesma coisa para a derivada parcial em relação a s .

Usando a regra da cadeia e considerando as outras variáveis como constantes, temos

w s = cos ⁡ v 2 r + 3 s cos ⁡ v - 1 . 3

w s = 3 cos ⁡ v 2 r + 3 s cos ⁡ v - 1

Show?!

Passo 3

Beleza, agora como diabos vamos derivar em relação a v se a função de v está no expoente?!

Para fazer essa derivada parcial, vamos usar a derivação logarítmica. Assim:

Aplicamos l n dos dois lados:

ln ⁡ w = ln ⁡ 2 r + 3 s cos ⁡ v

Usamos as propriedades do l n :

ln ⁡ w = cos ⁡ v . ln ⁡ ( 2 r + 3 s )

Derivamos os dois lados, usando a regra da cadeia e do produto:

( ln ⁡ w ) ' = cos ⁡ v . ln ⁡ 2 r + 3 s '

1 w . w ' = cos ⁡ v ' . ln ⁡ 2 r + 3 s + ln ⁡ 2 r + 3 s ' . cos ⁡ v

w ' w = - sen ⁡ v . ln ⁡ 2 r + 3 s + cos ⁡ v . 1 2 r + 3 s . 2 r + 3 s '

w ' = - sen ⁡ v . ln ⁡ 2 r + 3 s + cos ⁡ v . 1 2 r + 3 s . 2 r + 3 s ' . w

Passo 4

Ok, chegamos a expressão quase pronta da derivada. Mas, como estamos derivando em relação a v , temos que considerar apenas as derivadas em relação a v . Assim:

w v = w . - sen ⁡ v . ln ⁡ 2 r + 3 s + cos ⁡ v . 1 2 r + 3 s . 0

w v = 2 r + 3 s cos ⁡ v . - sen ⁡ v . ln ⁡ 2 r + 3 s

w v = - sen ⁡ v ∙ ln ⁡ 2 r + 3 s ∙ 2 r + 3 s cos ⁡ v

Resposta

w r = 2 cos ⁡ v 2 r + 3 s cos ⁡ v - 1

w s = 3 cos ⁡ v 2 r + 3 s cos ⁡ v - 1

w v = - sen ⁡ v ∙ ln ⁡ 2 r + 3 s ∙ 2 r + 3 s cos ⁡ v

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