Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

UFPE, Cálculo 2, 1°EE, 2012.2, questão 3a

Mostre que

  1. Se f x , y , z = a x + b y + c z n , onde a , b , c   ∈ R e n ∈ N são constantes, então,

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y + z ∂ f ∂ z = n f

Passo 1

  1. Vamos começar calculando as derivadas parciais. Vai ficar:

∂ f ∂ x = n a a x + b y + c z n - 1

∂ f ∂ y = n b a x + b y + c z n - 1

∂ f ∂ z = n c a x + b y + c z n - 1

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

-

Então vamos ter:

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y + z ∂ f ∂ z =

x n a a x + b y + c z n - 1 + y n b a x + b y + c z n - 1 + z n c a x + b y + c z n - 1 =

Colocando em evidência:

n a x + b y + c z n - 1 a x + b y + c z =

Finalmente:

n a x + b y + c z n = n f

Logo, provamos que:

x ∂ f ∂ x + y ∂ f ∂ y + z ∂ f ∂ z = n f  

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