Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

UNESA, Cálculo Diferencial e Integral II, Banco de Questões - Estácio - AV3, Questão 1

Se resistores elétricos de R 1 , R 2 , R 3 ohms são conectados em paralelo para formar um resistor de R ohms, o valor de R pode ser encontrado a partir da equação:

1 R = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3

Encontre o valor de ∂ R ∂ R 2 quando R 1 = 30 , R 2 = 45 e R 3 = 90 ohms.

Passo 1

Se você estiver com disposição, pode simplesmente derivar os dois lados em relação a R 2 , e depois tentar isolar o ∂ R / ∂ R 2 . Mas vamos fazer do jeito mais compreensível: começamos isolando o R , para só depois derivar.

1 R = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3

Primeiro, vamos multiplicar os dois lados por R :

1 = 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3 R

Agora vamos dividir os dois lados por aquela soma de frações que está entre parênteses:

R = 1 1 R 1 + 1 R 2 + 1 R 3

Vamos somar as frações do denominador:

R = 1 R 2 R 3 + R 1 R 3 + R 1 R 2 R 1 R 2 R 3

E 1 dividido por essa fração toda vai dar simplesmente o inverso da fração:

R = R 1 R 2 R 3 R 2 R 3 + R 1 R 3 + R 1 R 2

Ok, isolamos o R .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora só precisamos derivar em relação a R 2 . Para ficar mais fácil, vamos chamar R 2 de x e o R de y :

y = R 1 x R 3 x R 3 + R 1 R 3 + R 1 x

Organizando um pouco:

y = R 1 R 3 x R 3 + R 1 x + R 1 R 3

E o que nós queremos é calcular ∂ y / ∂ x . Como podemos fazer isso? Vamos usar a regra da derivada do quociente! Só pra relembrar, é essa regra aqui:

f x = g x h ( x )

f ' x = g ' x h x - g x h ' ( x ) h x 2

Aplicando essa fórmula, achamos o seguinte:

∂ y ∂ x = d d x R 1 R 3 x R 3 + R 1 x + R 1 R 3 - R 1 R 3 x d d x R 3 + R 1 x + R 1 R 3 R 3 + R 1 x + R 1 R 3 2

Agora vamos às derivadas:

∂ y ∂ x = R 1 R 3 R 3 + R 1 x + R 1 R 3 - R 1 R 3 x R 3 + R 1 R 3 + R 1 x + R 1 R 3 2

Beleza, chegamos em uma fórmula.

Passo 3

Ao invés de perder tempo tentando organizar melhor essa confusão, vamos logo substituir os valores:

R 1 = 30

R 2 = 45

R 3 = 90

Então:

∂ y ∂ x = R 1 R 3 R 3 + R 1 x + R 1 R 3 - R 1 R 3 x R 3 + R 1 R 3 + R 1 x + R 1 R 3 2

∂ y ∂ x ( 30,45,90 ) = ( 30 ) ( 90 ) 90 + 30 x + ( 30 ) ( 90 ) - ( 30 ) ( 90 ) x 30 + 90 30 + 90 x + ( 30 ) ( 90 ) 2

∂ y ∂ x ( 30,45,90 ) = ( 2700 ) 120 x + 2700 - 2700 x 120 120 x + 2700 2

∂ y ∂ x ( 30,45,90 ) = ( 2700 ) 120 ( 45 ) + 2700 - 2700 ( 45 ) 120 120 ( 45 ) + 2700 2

Agora é uma boa hora pra pegar sua calculadora:

∂ y ∂ x 30,45,90 = 21.870.000 - 14.580.000 65.610.000 = 0 , 1 ¯ = 1 9

Vamos voltar às variáveis originais:

∂ y ∂ x = ∂ R ∂ R 2 = 1 9

Pronto!

Resposta

Para os valores dados no enunciado, ∂ R ∂ R 2 = 1 9 .

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas