Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente, Regra da Cadeia

Seja z = e y ϕ x - y , em que ϕ : R → R é uma função diferenciável de uma variável real. Mostre que δ z δ x + δ z δ y = z .

Passo 1

Simples aplicação da regra da cadeia, e dessa vez, ainda bem, são só as primeiras derivadas parciais!

Nossa função é:

z = e y ϕ x - y

Se derivarmos em relação a x , só tratar y como constante:

δ z δ x = e y ϕ ' x - y . 1

Coloquei esse 1 aí multiplicando só pra ilustrar que usamos a regra da cadeia, derivando a função de fora, ϕ , e depois a de dentro em relação a x , x - y ' = 1 .

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora, vamos derivar em relação a y , tratando x como constante, usando a regra do produto entre as funções e y e ϕ x - y , e usando a regra da cadeia na função ϕ x - y . Fica assim:

δ z δ y = e y ϕ x - y + e y ϕ x - y '

Aqui o que fizemos foi multiplicar a derivada da primeira função pela a segunda, somada à derivada da segunda função vezes a primeira.

Derivando a segunda função:

ϕ x - y ' = ϕ ' x - y . - 1

E, por fim, a deriva em relação a y fica:

δ z δ y = e y ϕ x - y - e y ϕ ' x - y

Passo 3

Agora é só somar as duas derivadas parciais e ver que da a função z :

δ z δ x = e y ϕ ' x - y . 1

δ z δ y = e y ϕ x - y - e y ϕ ' x - y

δ z δ x + δ z δ y = e y ϕ ' x - y . 1 + e y ϕ x - y - e y ϕ ' x - y = e y ϕ x - y = z

Resposta

δ z δ x + δ z δ y = e y ϕ ' x - y . 1 + e y ϕ x - y - e y ϕ ' x - y = e y ϕ x - y = z

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