Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

Regra da Cadeia, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente

Seja u = x 2 + y 2 ϕ ( x / y ) , em que ϕ   : R → R é uma função diferenciável de uma variável real. Verifique que

x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y = 2 u .

Passo 1

Queremos verificar essa relação, que envolve as derivadas parciais de u , então vamos calculá-las! Vamos ter que usar a regra da cadeia e a regra do produto:

∂ u ∂ x = 2 x . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y 1 y

Repare que x y = x y - 1 então, pra outra derivada parcial vamos ter:

∂ u ∂ y = 2 y . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y x . - 1 y - 2

O que dá:

∂ u ∂ y = 2 y . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y - x y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Show de bola, agora vamos verificar a equação!

x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y = x 2 x . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y 1 y + y 2 y . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y - x y 2

Poxa, ficou tão grande :( Mas não adianta chorar, agora é arregaçar as mangas e partir pras contas! Isso vai dar:

2 x 2 . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y x y + 2 y ² . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y - x y y 2

= 2 x 2 . ϕ x y + x 2 + y 2 x y ϕ ' x y + 2 y 2 . ϕ x y - x 2 + y 2 x y ϕ ' x y

Opa! Vai dar pra cortar 2 desses troços estranhos!

Então sobrou:

2 x 2 . ϕ x y + 2 y 2 . ϕ x y = 2 x 2 + 2 y 2 ϕ x y = 2 x 2 + y 2 ϕ x y = 2 u

Beleza! Conseguimos provar a equação! :D

Resposta

x ∂ u ∂ x + y ∂ u ∂ y = x 2 x . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y 1 y + y 2 y . ϕ x y + x 2 + y 2 ϕ ' x y - x y 2 = 2 u

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