Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

Regra da Cadeia, Derivadas Parciais e o Vetor Gradiente

Seja g x , y = ψ ( x / y ) , em que ψ   : R → R é uma função diferenciável de uma variável real. Verifique que

x g x x , y + y g y x , y = 0 ,

para todo x , y ∈ R ² com y ≠ 0 .

Passo 1

Vamos começar calculando as derivadas parciais de g .

g x , y = ψ ( x / y )

Logo, pela regra da cadeia, vamos ter:

g x x , y = ψ ' x y 1 y

Podemos notar que ψ x y = ψ ( x y - 1 ) . Então:

g y x , y = ψ ' x y - x y - 2 = ψ ' x y - x y 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos verificar a equação!

x g x x , y + y g y x , y = x ψ ' x y 1 y + y ψ ' x y - x y 2

O que dá:

ψ ' x y x y + ψ ' x y - x y y 2 = ψ ' x y x y - ψ ' x y x y = 0

Logo, verificamos que:

x g x x , y + y g y x , y = 0

Resposta

x g x x , y + y g y x , y = x ψ ' x y 1 y + y ψ ' x y - x y 2 = 0

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