Exercícios Resolvidos de Derivadas Parciais

UFF, Cálculo IIB, Listas GMA - Lista 3, Questão 11

Seja

f x , y = 14 - x 2 - y 2

Calcule f x ( 1,3 ) e f y ( 1,3 ) e interprete geometricamente.

Passo 1

Bem, primeiramente, vamos encontrar as derivadas parciais dessa função. Daqui a pouco a gente interpreta isso geometricamente, ok?

Vamos lá. Começando por f x .

f x , y = 14 - x 2 - y 2 1 2

f x = 1 2 14 - x 2 - y 2 - 1 2 . - 2 x

f x = - x 14 - x 2 - y 2

Substituindo no ponto ( 1,3 )

f x 1,3 = - 1 14 - 1 2 - 3 2 = - 1 4 = - 1 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora vamos para f y

f x , y = 14 - x 2 - y 2 1 2

f y = 1 2 14 - x 2 - y 2 - 1 2 . - 2 y

f y = - y 14 - x 2 - y 2

Substituindo no ponto ( 1,3 ) :

f y 1,3 = - 3 14 - 1 2 - 3 2 = - 3 4 = - 3 2

Passo 3

Agora vamos a interpretação geométrica:

Quando derivamos a função f ( x , y ) em relação a x , mantemos a variável y fixa. Com isso, temos uma função de uma variável z = f ( x , y 0 ), cujo gráfico é a curva C 1 de interseção entre o gráfico da função f ( x , y ) e o plano y = y 0 .

Essa curva tem uma reta tangente T 1 no ponto P = ( x 0 , y 0 ) , que pertence a esse plano y = y 0 .

A derivada parcial f x ( x 0 , y 0 ) representa, então, a inclinação α dessa reta tangente em relação ao eixo x .

Dá uma olhada:

Assim, a derivada parcial f x ( 1,3 ) representa o ângulo de inclinação em relação ao eixo x da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,3 ) , pertencente ao plano y = 3 .

Além disso, como f x ( 1,3 ) é menor que zero, esse ângulo de inclinação em relação ao eixo x é maior que que 90°. (Nessa imagem f x x 0 , y 0 > 0 , portanto, a inclinação é menor que 90°).

O mesmo vale para a derivada parcial em relação a y . Assim, f y ( 1,3 ) representa o ângulo de inclinação em relação ao eixo y da reta tangente ao gráfico de f no ponto ( 1,3 ) , pertencente ao plano x = 1 . E, como f y ( 1,3 ) é menor que zero, esse ângulo de inclinação em relação ao eixo y é maior que que 90°

Resposta

f x 1,3 = - 1 2

f y 1,3 = - 3 2

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